Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( a,b \right)$ trong đó $a,b\in \left[ 1;2022 \right]$ thỏa ${{\left( \dfrac{2a}{a+{{2}^{b}}} \right)}^{{{2}^{b}}}}\ge {{\left( \dfrac{a+{{2}^{b}}}{{{2}^{b+1}}} \right)}^{a}}$
A. $5$.
B. $9$.
C. $10$.
D. $11$.
A. $5$.
B. $9$.
C. $10$.
D. $11$.
Đặt $x=a,$ $y={{2}^{b}}$ ta được ${{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}\ge {{\left( \dfrac{x+y}{2y} \right)}^{x}}\Leftrightarrow $ ${{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}\ge 1$
Đặt $P={{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}$
Không mất tính tổng quát giả sử $x\ge y$
$\Rightarrow $ $P={{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}$ $\le {{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{x}}{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}={{\left( \dfrac{4xy}{{{\left( x+y \right)}^{2}}} \right)}^{x}}\le {{1}^{x}}$
$\Rightarrow $ $P\le 1$. Do đó $P=1$ nên $x=y$ $\Rightarrow a={{2}^{b}}$
Vì $1\le a\le 2022$ $\Rightarrow $ ${{2}^{b}}\le 2022\Rightarrow b\le {{\log }_{2}}2022\Rightarrow b<11$
Vậy có 10 cặp số nguyên dương $\left( a,b \right)$.
Đặt $P={{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}$
Không mất tính tổng quát giả sử $x\ge y$
$\Rightarrow $ $P={{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}$ $\le {{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{x}}{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}={{\left( \dfrac{4xy}{{{\left( x+y \right)}^{2}}} \right)}^{x}}\le {{1}^{x}}$
$\Rightarrow $ $P\le 1$. Do đó $P=1$ nên $x=y$ $\Rightarrow a={{2}^{b}}$
Vì $1\le a\le 2022$ $\Rightarrow $ ${{2}^{b}}\le 2022\Rightarrow b\le {{\log }_{2}}2022\Rightarrow b<11$
Vậy có 10 cặp số nguyên dương $\left( a,b \right)$.
Đáp án C.