Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a, b)$ trong đó...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương

(a, b)

trong đó

a, b \in [1; 2022]

thỏa

{(\frac{2 a}{a + 2^{b}})}^{2^{b}} \geq {(\frac{a + 2^{b}}{2^{b + 1}})}^{a}

A.

5

.
B.

9

.
C.

10

.
D.

11

.

Đặt

x = a,

y = 2^{b}

ta được

{(\frac{2 x}{x + y})}^{y} \geq {(\frac{x + y}{2 y})}^{x} \Leftrightarrow

{(\frac{2 x}{x + y})}^{y} {(\frac{2 y}{x + y})}^{x} \geq 1

Đặt

P = {(\frac{2 x}{x + y})}^{y} {(\frac{2 y}{x + y})}^{x}

Không mất tính tổng quát giả sử

x \geq y

\Rightarrow

P = {(\frac{2 x}{x + y})}^{y} {(\frac{2 y}{x + y})}^{x}

\leq {(\frac{2 x}{x + y})}^{x} {(\frac{2 y}{x + y})}^{x} = {(\frac{4 x y}{{(x + y)}^{2}})}^{x} \leq 1^{x}

\Rightarrow

P \leq 1

. Do đó

P = 1

nên

x = y

\Rightarrow a = 2^{b}

Vì

1 \leq a \leq 2022

\Rightarrow

2^{b} \leq 2022 \Rightarrow b \leq \log_{2} 2022 \Rightarrow b < 11

Vậy có 10 cặp số nguyên dương

(a, b)

.

Đáp án C.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (a,b) trong đó...