Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a;b)$, trong đó $a,b\in \left[ 1;2022 \right]$ thỏa mãn ${{\left( \dfrac{2a}{a+{{2}^{b}}} \right)}^{{{2}^{b}}}}\ge {{\left( \dfrac{a+{{2}^{b}}}{{{2}^{b+1}}} \right)}^{a}}$ ?
A. $5$.
B. $9$.
C. $10$.
D. $11$.
A. $5$.
B. $9$.
C. $10$.
D. $11$.
Đặt $x=a;y={{2}^{b}}$, ta có ${{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}\ge {{\left( \dfrac{x+y}{2y} \right)}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}.{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}\ge 1$
Xét hàm $f(x;y)={{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}.{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}$
Khi $x=y\Rightarrow f(x;y)=1$
Giả sử $x>y\Rightarrow f(x;y)<{{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{x}}.{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}={{\left( \dfrac{4xy}{{{(x+y)}^{2}}} \right)}^{x}}<{{1}^{x}}=1(4xy<{{x}^{2}}+{{y}^{2}})$
Giả sử $x<y\Rightarrow f(x;y)<{{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}.{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{y}}={{\left( \dfrac{4xy}{{{(x+y)}^{2}}} \right)}^{y}}<{{1}^{x}}=1$
Vậy, $f(x;y)\ge 1\Leftrightarrow f(x;y)=1\Leftrightarrow x=y\Leftrightarrow a={{2}^{b}}$
Trên đoạn $a,b\in \left[ 1;2022 \right]\Rightarrow {{2}^{b}}<2022\Rightarrow b<11$
Vậy, có $10$ giá trị của $b$, và có $10$ giá trị của $a$ nên có $10$ cặp $(a;b)$ thỏa mãn.
Xét hàm $f(x;y)={{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}.{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}$
Khi $x=y\Rightarrow f(x;y)=1$
Giả sử $x>y\Rightarrow f(x;y)<{{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{x}}.{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{x}}={{\left( \dfrac{4xy}{{{(x+y)}^{2}}} \right)}^{x}}<{{1}^{x}}=1(4xy<{{x}^{2}}+{{y}^{2}})$
Giả sử $x<y\Rightarrow f(x;y)<{{\left( \dfrac{2x}{x+y} \right)}^{y}}.{{\left( \dfrac{2y}{x+y} \right)}^{y}}={{\left( \dfrac{4xy}{{{(x+y)}^{2}}} \right)}^{y}}<{{1}^{x}}=1$
Vậy, $f(x;y)\ge 1\Leftrightarrow f(x;y)=1\Leftrightarrow x=y\Leftrightarrow a={{2}^{b}}$
Trên đoạn $a,b\in \left[ 1;2022 \right]\Rightarrow {{2}^{b}}<2022\Rightarrow b<11$
Vậy, có $10$ giá trị của $b$, và có $10$ giá trị của $a$ nên có $10$ cặp $(a;b)$ thỏa mãn.
Đáp án C.