Có bao nhiêu cặp số $\left( x;y \right)$ nguyên thoả mãn $0\le...

- Do $0\le x\le 2022$ $\Rightarrow {{\log }_{2}}(2x+2)$ luôn có nghĩa
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}2(x+1)+x={{8}^{y}}+3y \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+x+1={{2}^{3y}}+3y(1) \\
\end{aligned}$
- Đặt $t={{\log }_{2}}(x+1)\Rightarrow (x+1)={{2}^{t}}$
$(1)\Leftrightarrow {{2}^{t}}+t={{2}^{3y}}+3y$
Xét $f(u)={{2}^{u}}+u$ với $\forall u\ge 0$
$f'(u)={{2}^{u}}.\ln u+1>0$ với $\forall u\ge 0$ $\Rightarrow $ Hàm số $f(u)$ đồng biến
$\Leftrightarrow 3y=t$
$\Leftrightarrow 3y={{\log }_{2}}(x+1)$
$\Leftrightarrow y={{\log }_{8}}(x+1)$
Với $0\le x\le 2022\Leftrightarrow 1\le x+1\le 2023\Leftrightarrow {{\log }_{8}}1\le {{\log }_{8}}(x+1)\le {{\log }_{8}}2023$
$\Leftrightarrow 0\le y\le 3,66$
Mà $y \in Z \Rightarrow y=\{0 ; 1 ; 2 ; 3\}$ tương ứng có các cặp $\left( x;y \right)$ : $\left( 0;0 \right);\left( 7;1 \right);\left( 63;2 \right);\left( 511;3 \right)$
$\Rightarrow $ Có 4 cặp số thoả mãn.