Có bao nhiêu cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn...

Cách giải:
Lấy logarit hai vế của phương trình đã cho ta có:
${{10}^{\dfrac{10}{x+y}}}=\left( x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right){{.10}^{\dfrac{1}{xy}}}$
$\Leftrightarrow \log \left( {{10}^{\dfrac{10}{x+y}}} \right)=\log \left[ \left( x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right){{.10}^{\dfrac{1}{xy}}} \right]$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}=\log \left( x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right)+\dfrac{1}{xy}$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}=\log \left( x+y+\dfrac{x+y}{xy} \right)+\dfrac{1}{xy}$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}=\log \left( \left( x+y \right)\left( 1+\dfrac{1}{xy} \right) \right)+\dfrac{1}{xy}$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}=\log \left( x+y \right)+\log \left( 1+\dfrac{1}{xy} \right)+\dfrac{1}{xy}$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}-\log \left( x+y \right)=\dfrac{1}{xy}+\log \left( 1+\dfrac{1}{xy} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}+1-\log \left( x+y \right)=1+\dfrac{1}{xy}+\log \left( 1+\dfrac{1}{xy} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}+\log \dfrac{10}{x+y}=1+\dfrac{1}{xy}+\log \left( 1+\dfrac{1}{xy} \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+\log t\left( t>0 \right)$ ta có $f'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 10}>0\forall t>0$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Lại có $f\left( \dfrac{10}{x+y} \right)=f\left( 1+\dfrac{1}{xy} \right)\Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}=1+\dfrac{1}{xy}.$
Thế vào phương trình ban đầu ta có:
${{10}^{1+\dfrac{1}{xu}}}=\left( x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right){{.10}^{\dfrac{1}{xy}}}$
$\Leftrightarrow {{10.10}^{\dfrac{1}{xy}}}=\left( x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right){{.10}^{\dfrac{1}{xy}}}$
$\Leftrightarrow 10=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& x\in \mathbb{N}* \\
& y>0 \\
\end{aligned} \right. $ nên áp dụng BĐT Cô-si ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& x+\dfrac{1}{x}\ge 2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2 \\
& y+\dfrac{1}{y}\ge 2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}=2 \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow 10-\left( x+\dfrac{1}{x} \right)\ge 2\Leftrightarrow 2\le x+\dfrac{1}{x}\le 8.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x+1\ge 0 \\
& {{x}^{2}}-8x+1\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\left( luondung \right) \\
& 4-\sqrt{15}\le x\le 4+\sqrt{15} \\
\end{aligned} \right.$
Maf $x\in \mathbb{N}*\Rightarrow x\in \left\{ ;2;3;4;5;6;7 \right\}.$
Giả sử $x+\dfrac{1}{x}=k\Rightarrow k\in \left\{ 2;\dfrac{5}{2};\dfrac{10}{3};\dfrac{17}{4};\dfrac{26}{5};\dfrac{37}{6};\dfrac{50}{7} \right\},$ khi đó ta có $y+\dfrac{1}{y}=10-k\Leftrightarrow {{y}^{2}}+\left( k-10 \right)y+1=0$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {{\left( k-10 \right)}^{2}}-4={{k}^{2}}-20k+96>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k>12 \\
& k<8 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy ứng với mỗi giá trị $k\in \left\{ 2;\dfrac{5}{2};\dfrac{10}{3};\dfrac{17}{4};\dfrac{26}{5};\dfrac{37}{6};\dfrac{50}{7} \right\}$ cho 2 giá trị $y$ thỏa mãn hay ứng với mỗi giá trị của $x$ cho 2 giá trị $y$ tương ứng.
Vậy có tất cả 14 cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.