Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu bộ $\left( x;y \right)$ với $x,y$ nguyên và $1\le x,y\le 2020$ thỏa mãn
$\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)$ ?
A. $2017$.
B. $4034$.
C. $2$.
D. $2017\times 2020$.
$\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)$ ?
A. $2017$.
B. $4034$.
C. $2$.
D. $2017\times 2020$.
Từ giả thiết ta thấy chỉ cần xét trong điều kiện $3<x\le 2020$ và $1\le y\le 2020$.
Ta có: $\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)$
$\Leftrightarrow \left( x+4 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2-y \right)\left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)$ $\left( 1 \right)$
Do $y$ nguyên dương nên ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
T.H1. $y=1$, khi đó bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành:
$3\left( x+4 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)\le \left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)\Leftrightarrow 3.\dfrac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)\le 0$.
- Xét hàm số: $f\left( x \right)=3.\dfrac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)$ với $x\in \left( 3;2020 \right]$.
Có: ${f}'\left( x \right)=3.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right).\dfrac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\dfrac{-7\left( x-3 \right)}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right).\ln 2}$
$=\dfrac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\left( 3.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)-\dfrac{x-3}{\left( 2x+1 \right).\ln 2} \right)>0, \forall x>3$, do đó $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)$.
$\Rightarrow f\left( x \right)\le f\left( 2020 \right), \forall x\in \left( 3;2020 \right]$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)\le 3.\dfrac{2024}{2017}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \dfrac{4041}{2017} \right)<0, \forall x\in \left( 3;2020 \right]$
Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 3;2020 \right]$.
Lại do $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ 4;5;6;...;2020 \right\}$, hay trường hợp này có $2017$ cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
T.H2: $y=2$, khi đó bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: $0\le 0$ luôn đúng với mọi $x\in \left( 3;2020 \right]$.
Do đó trường hợp này có $2017$ cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bài toán.
T.H3. $y>2$, khi đó $\dfrac{2y}{y+2}>1\Rightarrow VT\left( 1 \right)>0$.
Do đó để BPT $\left( 1 \right)$ có nghiệm thì điều kiện cần là $VP\left( 1 \right)>0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)<0\Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{x-3}<1\Leftrightarrow 2x+1<x-3\Leftrightarrow x<-4$.
Trường hợp bày không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy có tất cả $4034$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: $\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)$
$\Leftrightarrow \left( x+4 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2-y \right)\left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)$ $\left( 1 \right)$
Do $y$ nguyên dương nên ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
T.H1. $y=1$, khi đó bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành:
$3\left( x+4 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)\le \left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)\Leftrightarrow 3.\dfrac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)\le 0$.
- Xét hàm số: $f\left( x \right)=3.\dfrac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)$ với $x\in \left( 3;2020 \right]$.
Có: ${f}'\left( x \right)=3.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right).\dfrac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\dfrac{-7\left( x-3 \right)}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right).\ln 2}$
$=\dfrac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\left( 3.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)-\dfrac{x-3}{\left( 2x+1 \right).\ln 2} \right)>0, \forall x>3$, do đó $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)$.
$\Rightarrow f\left( x \right)\le f\left( 2020 \right), \forall x\in \left( 3;2020 \right]$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)\le 3.\dfrac{2024}{2017}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \dfrac{4041}{2017} \right)<0, \forall x\in \left( 3;2020 \right]$
Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 3;2020 \right]$.
Lại do $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ 4;5;6;...;2020 \right\}$, hay trường hợp này có $2017$ cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
T.H2: $y=2$, khi đó bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: $0\le 0$ luôn đúng với mọi $x\in \left( 3;2020 \right]$.
Do đó trường hợp này có $2017$ cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bài toán.
T.H3. $y>2$, khi đó $\dfrac{2y}{y+2}>1\Rightarrow VT\left( 1 \right)>0$.
Do đó để BPT $\left( 1 \right)$ có nghiệm thì điều kiện cần là $VP\left( 1 \right)>0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)<0\Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{x-3}<1\Leftrightarrow 2x+1<x-3\Leftrightarrow x<-4$.
Trường hợp bày không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy có tất cả $4034$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.