Có bao nhiêu bộ $\left( x;y \right)$ với $x,y$ nguyên và $1\le...

Từ giả thiết ta thấy chỉ cần xét trong điều kiện và .
Ta có:

Do nguyên dương nên ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
T.H1. , khi đó bất phương trình trở thành:
.
- Xét hàm số: với .
Có:
, do đó đồng biến trên .


Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Lại do nên , hay trường hợp này có cặp số thỏa mãn.
T.H2: , khi đó bất phương trình trở thành: luôn đúng với mọi .
Do đó trường hợp này có cặp số thỏa mãn bài toán.
T.H3. , khi đó .
Do đó để BPT có nghiệm thì điều kiện cần là
.
Trường hợp bày không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy có tất cả cặp thỏa mãn yêu cầu bài toán.