Chứng minh rằng: $P_2 \geq \dfrac{8}{9} P_1$

GS.Xoăn đã viết:

Bài toán
Cho mạch RLC mắc nối tiếp theo thứ tự L-R-C. Đặt vào hai đầu điện áp xoay chiều hiệu có hiệu điện thế hiệu dụng U không đổi, có thể thay đổi được thì đoạn mạch tiêu thụ công suất với hệ số công suất là 1. Khi thì điện áp hiệu dụng đạt cực đại và đoạn mạch tiêu thụ công suất . Chứng minh rằng:

Nguồn: FB, Lil.Tee

Click để xem thêm...

Khi thì hệ số công suất là , mạch đang xảy ra hiện tượng cộng hưởng, suy ra
Khi , là bài toán quen thuộc hiện nay, không mấy khó khăn có thể thấy được đạt giá trị lớn nhất khi Từ đó ta suy ra và Công suất lúc này là Ta có
Trong đó (việc đặt này chính là bản chất của việc chuẩn hóa cho ). Với phép đặt như thế thì ta có tương đương với hay (Chú ý rằng, sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai, ta hoàn toàn có thể suy ra được , mình viết vậy cho gọn).
Từ đó suy ra hay Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (thỏa mãn ) tức là khi hay tương đương . Tuy nhiên, nó khác với giá trị nên đẳng thức trên không thể xảy ra. Vì sao? Bởi vì phương trình chỉ có được khi . Do đó ta không thể kết luận giá trị nhỏ nhất của là
Vậy khi nào thì giá trị nhỏ nhất của là ? Khi đề bài của chúng ta sửa lại 1 chút như sau:

Cho mạch RLC mắc nối tiếp theo thứ tự . Đặt vào hai đầu 1 điện áp xoay chiều có hiệu điện thế hiệu dụng U không đổi, có thể thay đổi được. Khi thì đoạn mạch AB tiêu thụ công suất với hệ số công suất là . Khi thì điện áp hiệu dụng đạt cực đại và đoạn mạch AB tiêu thụ công suất là . Sau đó giữ nguyên giá trị và thay đổi L (hoặc C). Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của là . Tìm L (hoặc C) khi đẳng thức xảy ra.

Click để xem thêm...