Chp hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\log \dfrac{\sqrt{x-2}}{100y}=\left( y-\sqrt{x-2} \right)\left( y+\sqrt{x-2}+1 \right)-2.$ Giá trị nhỏ nhất...

Phương pháp:
- Tìm điều kiện xác định.
- Biến đổi phương trình và xét hàm đặc trưng, biểu diễn $y$ theo $x.$
- Đưa biểu thức $P$ chỉ còn chứa biến $x,$ xét hàm số, lập BBT và tìm GTLN của hàm số.
Cách giải:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\sqrt{x-2}}{100y}>0 \\
& x-2\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>2 \\
& y>0 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có:
$\log \dfrac{\sqrt{x-2}}{100y}=\left( y-\sqrt{x-2} \right)\left( y+\sqrt{x-2}+1 \right)-2$
$\Leftrightarrow \log \sqrt{x-2}-\log y-2={{y}^{2}}-\left( x-2 \right)+y-\sqrt{x-2}-2$
$\Leftrightarrow \left( x+2 \right)+\sqrt{x-2}+\log \sqrt{x-2}={{y}^{2}}+y+\log y$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t+\log t\left( t>0 \right)$ ta có $f'\left( t \right)=2t+1+\dfrac{1}{t\ln 10}>0\forall t>0$, do đó hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $f\left( \sqrt{x-2} \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow \sqrt{x-2}=y\Leftrightarrow x-2={{y}^{2}}\Leftrightarrow x={{y}^{2}}+2>2.$
Khi đó ta có: $P=\dfrac{\ln \left( {{y}^{2}}+2 \right)}{\sqrt[2021]{x}}=\dfrac{\ln x}{\sqrt[2021]{x}}$
Xét hàm số $P\left( x \right)=\dfrac{\ln x}{\sqrt[2021]{x}}$ với $x>2$ ta có: $P'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt[2021]{x}}{x}-\dfrac{1}{2021}.{{x}^{\dfrac{-2020}{2021}}}\ln x}{{{\left( \sqrt[2021]{x} \right)}^{2}}}$
$P'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt[2021]{x}}{x}-\dfrac{1}{2021}.\dfrac{1}{{{x}^{\dfrac{2020}{2021}}}}\ln x=0\Leftrightarrow 2021x-x\ln x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\left( ktm \right) \\
& x={{e}^{2021}}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
BBT:

Vậy ${{P}_{\max }}\in \left( 700;800 \right).$