Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một...

+) Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng $\overline{abc},\ \ a\ne 0$.
Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right)=9.9.8=648$ (số).
+) Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được số có $S>0$ và $S$ chia hết cho 6".
Ta có: $S=a.b.c>0$ nên ba chữ số $a,~b,~c$ khác 0.
Mặt khác $S=a.b.c$ chia hết cho 6 nên xảy ra một trong các TH sau:
+) TH1: Trong 3 chữ số $a,~b,~c$ có chữ số 6.
- Chọn vị trí cho chữ số $6$ : có 3 cách.
- Chọn 2 chữ số trong tập $\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 7;\ 8;\ 9 \right\}$ và xếp vào 2 vị trí còn lại: có $A_{8}^{2}$ cách.
$\Rightarrow $ có $3.A_{8}^{2}=168$ (số).
+) TH2: Trong 3 chữ số $a,b,c$ không có chữ số 6.
Khi đó để $a.b.c$ chia hết cho 6 ta cần có ít nhất 1 chữ số chia hết cho 2 thuộc tập $\left\{ 2;4;8 \right\}$ và ít nhất 1 chữ số chia hết cho 3 thuộc tập $\left\{ 3;9 \right\}$. Có các khả năng sau:
- Trong 3 chữ số $a,b,c$ có một chữ số chia hết cho 2, một chữ số chia hết cho 3 và một chữ số thuộc tập $\left\{ 1;5;7 \right\}$ : có $C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{3}^{1}.3!=108$ (số).
- Trong 3 chữ số $a,b,c$ có 2 chữ số chia hết cho 2, một chữ số chia hết cho 3: có $C_{3}^{2}.2.3!=36$ (số).
- Trong 3 chữ số $a,b,c$ có 1 chữ số chia hết cho 2 và 2 chữ số chia hết cho 3: có $C_{3}^{1}.C_{2}^{2}.3!=18$ (số).
Suy ra $n\left( A \right)=168+108+36+18=330$
Vậy $P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{330}{648}=\dfrac{55}{108}$.