Chọn ngẫu nhiên ba số $a,b,c$ trong tập hợp $S=\left\{...

Số cách lấy ngẫu nhiên $3$ số từ tập hợp $S$ là: $C_{20}^{3}=1140$.
Ta chia thành $3$ tập: Số chia hết cho $3$, số chia $3$ dư $1$, số chia $3$ dư $2.$
Số chia hết cho $3:$ $\left\{ 3;6;9;12;15;18 \right\}$
Số chia $3$ dư $1:$ $\left\{ 1;4;7;10;13;16;19 \right\}$
Số chia $3$ dư $2:$ $\left\{ 2;5;8;11;14;17;20 \right\}$
Nếu
$a\equiv 0\left( \bmod 3 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}\equiv 0\left( \bmod 3 \right),a\equiv 1\left( \bmod 3 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right),a\equiv 2\left( \bmod 3 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right)$
Nên để $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\equiv 0\left( \bmod 3 \right)$ ta có các TH sau:
TH1: Lấy $3$ số từ cùng một trong $3$ tập trên: $C_{6}^{3}+C_{7}^{3}+C_{7}^{3}=90$
TH2: Lấy $2$ số từ tập các số chia $3$ dư $1$ và một số từ tập các số chia $3$ dư $2$ : $C_{7}^{2}.C_{7}^{1}=147$
TH3: Lấy $2$ số từ tập các số chia $3$ dư $2$ và một số từ tập các số chia $3$ dư $1$ : $C_{7}^{2}.C_{7}^{1}=147$
Vậy xác suất cần tính là: $\dfrac{147+147+90}{1140}=\dfrac{32}{95}=\dfrac{m}{n}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=32 \\
& n=95 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m+n=127.$