Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{5}^{12}{\dfrac{dx}{x\sqrt{x+4}}}=\dfrac{1}{a}.\ln \dfrac{b}{c}$ với $a, b, c$ là các số nguyên dương. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $a=b-c$.
B. $b=c-a$.
C. $c=a-b$.
D. $b=2c$.
A. $a=b-c$.
B. $b=c-a$.
C. $c=a-b$.
D. $b=2c$.
Đặt: $t=\sqrt{x+4}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=x+4\Leftrightarrow 2tdt=dx$
Đổi cận: $x=5\Rightarrow t=3, x=12\Rightarrow t=4$
Từ đó ta có: $\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2tdt}{\left( {{t}^{2}}-4 \right)t}}=\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2dt}{\left( t-2 \right)\left( t+2 \right)}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{3}^{4}{\left( \dfrac{1}{t-2}-\dfrac{1}{t+2} \right)}dt=\dfrac{1}{2}\ln \left| \dfrac{t-2}{t+2} \right|\left| _{3}^{4} \right.$ = $\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{5}{3}$
Vậy $a=b-c$.
Đổi cận: $x=5\Rightarrow t=3, x=12\Rightarrow t=4$
Từ đó ta có: $\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2tdt}{\left( {{t}^{2}}-4 \right)t}}=\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2dt}{\left( t-2 \right)\left( t+2 \right)}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{3}^{4}{\left( \dfrac{1}{t-2}-\dfrac{1}{t+2} \right)}dt=\dfrac{1}{2}\ln \left| \dfrac{t-2}{t+2} \right|\left| _{3}^{4} \right.$ = $\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{5}{3}$
Vậy $a=b-c$.
Đáp án D.