Cho $z\in \mathbb{C}$, thỏa mãn $|\bar{z}+2i|\le |z-4i|$ và $(z-3-3i)(\bar{z}-3+3i)=1$. Giá trị...

Đặt $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$.
$|\bar{z}+2i|\le |z-4i|\iff {(y-2)}^2\le {(y-4)}^2\iff y\le 3$
$(z-3-3i)(\bar{z}-3+3i)=1$
$\iff (x+yi-3-3i)(x-yi-3+3i)=1$
$\iff (x-3+(y-3)i)(x-3-(y-3)i)=1$
$\iff {(x-3)}^2+{(y-3)}^2=1$
Từ đó suy ra tập hợp các điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ là nửa dưới của đường tròn tâm $I(3;3)$ bán kính $R=1$.

Gọi $N(2;0)$ khi đó ta có $|z-2|=MN$ từ hình vẽ ta thấy $MN$ lớn nhất khi điểm $M(4;3)$ khi đó $MN=\sqrt{13}$.
Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z-2|$ là $\sqrt{13}$.