Cho $z\in \mathbb{C}$ thỏa $\left\{ \begin{aligned} & \left| z-1-2i \right|\le 1 \\ & \left| z-2-4i \right|\le 2 \\ \end{aligned} \right.. $...

Phương pháp:
Áp dụng BĐT: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\ge \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$.
Cách giải:
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| z-1-2i \right|\le 1 \\
& \left| z-2-4i \right|\le 2 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $\left| z-1-2i \right|=\left| z-\left( 1+2i \right) \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| 1+2i \right| \right|$
$\Rightarrow \left| z \right|-\left| 1+2i \right|\le 1$
$\Rightarrow \sqrt{5}-1\le \left| z \right|\le 1+\sqrt{5}$
Tương tự ta có $2\sqrt{5}-2\le \left| z \right|\le 2+2\sqrt{5}.$
Kết hợp ta có $\sqrt{5}-1\le \left| z \right|\le 2+2\sqrt{5}.$
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& \min \left| z \right|=\sqrt{5}-1 \\
& \min \left| z \right|=2+2\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \min \left| z \right|+\max \left| z \right|=3\sqrt{5}-1$.