Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=2$, $\left| {{z}_{2}} \right|=3$ và ${{z}_{1}}\cdot \overline{{{z}_{2}}}$ là số thuần ảo. Giá trị lớn nhất của $P=\left| 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}+1-2i \right|$ bằng:
A. $\sqrt{65}+\sqrt{5}$.
B. $\sqrt{145}+\sqrt{5}$.
C. $15+\sqrt{5}$.
D. $5+\sqrt{5}$.
A. $\sqrt{65}+\sqrt{5}$.
B. $\sqrt{145}+\sqrt{5}$.
C. $15+\sqrt{5}$.
D. $5+\sqrt{5}$.
Ta có: ${{\left| 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right)\left( 4\overline{{{z}_{1}}}-3\overline{{{z}_{2}}} \right)$ $=16{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+9{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-12\left( {{z}_{1}}\cdot \overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}\cdot {{z}_{2}} \right)$
$=16\cdot 4+9\cdot 9-12\cdot 0$ $=145$ $\Rightarrow \left| 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right|=\sqrt{145}$
Ta có: $\left| 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}+1-2i \right|\le \left| 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right|+\left| 1-2i \right|=\sqrt{145}+\sqrt{5}$
" $=$ " $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& k>0 \\
& 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}=k\left( 1-2i \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}=\sqrt{29}\left( 1-2i \right)$
$=16\cdot 4+9\cdot 9-12\cdot 0$ $=145$ $\Rightarrow \left| 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right|=\sqrt{145}$
Ta có: $\left| 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}+1-2i \right|\le \left| 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right|+\left| 1-2i \right|=\sqrt{145}+\sqrt{5}$
" $=$ " $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& k>0 \\
& 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}=k\left( 1-2i \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow 4{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}=\sqrt{29}\left( 1-2i \right)$
Đáp án B.