Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp của nhau thỏa mãn $\dfrac{{{z}_{1}}}{z_{2}^{2}}\in \mathbb{R}$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{3}.$ Tính môđun của số phức ${{z}_{1}}.$
A. $\left| {{z}_{1}} \right|=2.$
B. $\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{5}$
C. $\left| {{z}_{1}} \right|=3$
D. $\left| {{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
A. $\left| {{z}_{1}} \right|=2.$
B. $\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{5}$
C. $\left| {{z}_{1}} \right|=3$
D. $\left| {{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Cách giải:
Đặt $z=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{z}_{2}}=a-bi\ne 0.$
Ta có:
+) $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| a+bi-a+bi \right|=2\sqrt{3}\Leftrightarrow 2\left| b \right|=2\sqrt{3}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=3.$
+) $\dfrac{{{z}_{1}}}{z_{2}^{2}}=\dfrac{{{z}_{1}}}{{{\left( \overline{{{z}_{1}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{z_{1}^{3}}{{{\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\left( a+bi \right)}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{3}}-3a{{b}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}+\dfrac{3{{a}^{2}}b+{{b}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}i$
Vì $\dfrac{{{z}_{1}}}{z_{2}^{2}}\in \mathbb{R}$ nên $3{{a}^{2}}b-{{b}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0\left( ktm \right) \\
& {{b}^{2}}=3{{a}^{2}}\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 3{{a}^{2}}=3\Leftrightarrow {{a}^{2}}=1.$
Đặt $z=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{z}_{2}}=a-bi\ne 0.$
Ta có:
+) $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| a+bi-a+bi \right|=2\sqrt{3}\Leftrightarrow 2\left| b \right|=2\sqrt{3}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=3.$
+) $\dfrac{{{z}_{1}}}{z_{2}^{2}}=\dfrac{{{z}_{1}}}{{{\left( \overline{{{z}_{1}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{z_{1}^{3}}{{{\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\left( a+bi \right)}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{3}}-3a{{b}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}+\dfrac{3{{a}^{2}}b+{{b}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}i$
Vì $\dfrac{{{z}_{1}}}{z_{2}^{2}}\in \mathbb{R}$ nên $3{{a}^{2}}b-{{b}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0\left( ktm \right) \\
& {{b}^{2}}=3{{a}^{2}}\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 3{{a}^{2}}=3\Leftrightarrow {{a}^{2}}=1.$
Đáp án A.