Cho $y=\left( m-3 \right){{x}^{3}}+2\left( {{m}^{2}}-m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+4 \right)x-1.$ Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của...

Phương pháp:
- Gọi số tạo thành có dạng $x=\overline{abc},$ với $a,b,c$ đôi một khác nhau và lấy từ A.
- Chọn vị trí cho chữ số 3.
- Chọn 2 chữ số còn lại. Áp dụng quy tắc nhân.
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
Ta có $y'=3\left( m-3 \right){{x}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}-m-1 \right)x+m+4$
Xét $y'=0\Leftrightarrow 2\left( m-3 \right){{x}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}-m-1 \right)x+m+4=0.$
Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục $Oy$ thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& 3\left( m-3 \right)\ne 0 \\
& 3\left( m-3 \right).\left( m+4 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4<m<3$
Mà $m\in \mathbb{Z},m>0$ nên $m=\left\{ 1;2 \right\}.$
Vậy S có 2 phần tử.