Google
Câu hỏi: Cho $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$ có đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị là $A$, đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị là $B$ và ${{x}_{A}}={{x}_{B}},AB=5$.
Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( -5;5 \right)$ để hàm số $y=\left| \left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|+m \right|$ có đúng 7 điểm cực trị?
A. $4$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $7$.
Ta có hàm số $y=f\left( x \right)$ có 1 điểm cực trị $x={{x}_{o}}$ và $y=g\left( x \right)$ có 1 điểm cực trị $x={{x}_{o}}$ nên suy ra ${f}'\left( {{x}_{o}} \right)=0,{g}'\left( {{x}_{o}} \right)=0$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)$, khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{x}_{o}}$.
Lại có $h\left( {{x}_{o}} \right)=0\Leftrightarrow f\left( {{x}_{o}} \right)-g\left( {{x}_{o}} \right)=-5$ ( theo giả thiết ${{x}_{A}}={{x}_{B}},AB=5$ ).
Từ đồ thị hàm số ta thấy $f\left( {{x}_{1}} \right)=g\left( {{x}_{1}} \right);f\left( {{x}_{2}} \right)=g\left( {{x}_{2}} \right)$.
Nên $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)$ là
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số $k\left( x \right)=\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|$ là
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $y=k\left( x \right)$ có ba điểm cực trị nên hàm số $y=k\left( x \right)+m$ cũng có 3 điểm cực trị.
Nhận thấy số điểm cực trị của hàm số $y=\left| k\left( x \right)+m \right|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $y=k\left( x \right)+m$ và số nghiệm đơn ( hay nghiệm bội lẻ ) của phương trình $k\left( x \right)+m=0$.
Suy ra để hàm số $y=\left| k\left( x \right)+m \right|$ có đúng 7 cực trị thì phương trình $k\left( x \right)+m=0\Leftrightarrow k\left( x \right)=-m$ có 4 nghiệm đơn ( hay bội lẻ ).
Từ bảng biến thiên ta có $-m\in \left( 0;5 \right)\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 5;+\infty \right)$.
Mà $m\in \left( -5;5 \right)$, kết hợp với $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 5;+\infty \right)$ $\Rightarrow m\in \left( -5;0 \right)$.
Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị của $m$ thỏa mãn.
A. $4$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $7$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)$, khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{x}_{o}}$.
Lại có $h\left( {{x}_{o}} \right)=0\Leftrightarrow f\left( {{x}_{o}} \right)-g\left( {{x}_{o}} \right)=-5$ ( theo giả thiết ${{x}_{A}}={{x}_{B}},AB=5$ ).
Từ đồ thị hàm số ta thấy $f\left( {{x}_{1}} \right)=g\left( {{x}_{1}} \right);f\left( {{x}_{2}} \right)=g\left( {{x}_{2}} \right)$.
Nên $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)$ là
Nhận thấy số điểm cực trị của hàm số $y=\left| k\left( x \right)+m \right|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $y=k\left( x \right)+m$ và số nghiệm đơn ( hay nghiệm bội lẻ ) của phương trình $k\left( x \right)+m=0$.
Suy ra để hàm số $y=\left| k\left( x \right)+m \right|$ có đúng 7 cực trị thì phương trình $k\left( x \right)+m=0\Leftrightarrow k\left( x \right)=-m$ có 4 nghiệm đơn ( hay bội lẻ ).
Từ bảng biến thiên ta có $-m\in \left( 0;5 \right)\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 5;+\infty \right)$.
Mà $m\in \left( -5;5 \right)$, kết hợp với $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 5;+\infty \right)$ $\Rightarrow m\in \left( -5;0 \right)$.
Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị của $m$ thỏa mãn.
Đáp án A.