Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba và có bảng biến thiên...

$g'\left( x \right)=f'\left( x \right).f'\left( f\left( x \right)+m \right).$
$g'\left( x \right)=0\!\!~\!\!\Leftrightarrow \!\!~\!\!\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
f'\left( x \right)=0 \\
f'\left( f\left( x \right)+m \right)=0 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \!\!~\!\!\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2 \\
x=2 \\
f\left( x \right)+m=-2\!\!~\!\! \\
f\left( x \right)+m=2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2 \\
x=2 \\
f\left( x \right)+2=-m\!\!~\!\! \\
f\left( x \right)-2=-m \\
\end{array} \right., $ trong đó $ x=-2 $ và $ x=2$ là hai nghiệm bội lẻ.
Đặt ${{f}_{1}}\left( x \right)=f\left( x \right)+2$ và ${{f}_{2}}\left( x \right)=f\left( x \right)-2$, ta có đồ thị sau

Với $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\in \left( -5;5 \right) \\
m\in \mathbb{Z} \\
\end{array} \right. $ và nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số $ g\left( x \right) $ có $ 4 $ điểm cực trị $ \Leftrightarrow $ $ g'\left( x \right)=0 $ có 4 nghiệm bội lẻ $ \Leftrightarrow $ $ m\in \left\{ -4;-3;-1;1;3;4 \right\}.$