Cho $y=f\left(x \right)$ là hàm đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -12; 12...

Phương pháp:
- Đưa hàm số về dạng $y=g\left(t+1 \right)=\left| 2f\left(t \right)+m \right|=\sqrt{{{\left(2f\left( t \right)+m \right)}^{2}}}.$
- Tính đạo hàm, giải phương trình $y'=0.$
- Tìm điều kiện để phương trình $y'=0$ có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.
Cách giải:
Đặt $t=x-1,$ khi đó ta có $y=g\left(t+1 \right)=\left| 2f\left(t \right)+m \right|=\sqrt{{{\left(2f\left( t \right)+m \right)}^{2}}}.$
$\Rightarrow y'=\dfrac{2\left(2f\left( t \right)+m \right). 2f'\left(t \right)}{2\sqrt{{{\left(2f\left( t \right)+m \right)}^{2}}}}=\dfrac{2\left[ 2f\left(t \right)+m \right]. F'\left(t \right)}{\sqrt{{{\left(2f\left( t \right)+m \right)}^{2}}}}$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2f\left(t \right)+m=0 \\
& f'\left(t \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số $y=g\left(t+1 \right)=\left| 2f\left(t \right)+m \right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $y'=0$ phải có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f'\left(t \right)=0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt $\Rightarrow $ Phương trình $2f\left(t \right)+m=0\Leftrightarrow f\left(t \right)=-\dfrac{m}{2}$ phải có 2 nghiệm bội lẻ phân biệt.
$\Rightarrow $ Đường thẳng $y=-\dfrac{m}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(t \right)$ tại 2 điểm phân biệt.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -<-\dfrac{m}{2}\le -3 \\
& -\dfrac{m}{2}\ge 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3\le \dfrac{m}{2}<6 \\
& \dfrac{m}{2}\le -2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 6\le m<12 \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp điều kiện $\left[ -12; 12 \right]\Rightarrow m\in \left[ -12;-4 \right]\cup \left[ 6; 12 \right).$ Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -12;-11;...;-4; 6; 7;...; 11 \right\}.$
Vậy có 15 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.