Cho $y=f\left(x \right)$ là hàm đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình $f\left[ f\left(\cos x \right)-1 \right]=0$ có bao...

Cách giải:
Đặt $t=f\left(\cos x \right)-1,$ phương trình trở thành: $f\left(t \right)=0.$
Với $x\in \left[ 0; 3\pi \right]\Rightarrow -1\le \cos x\le 1\Leftrightarrow -3\le f\left(\cos x \right)\le 1\Rightarrow -4\le f\left(\cos x \right)-1\le 0\Rightarrow t\in \left[ -4; 0 \right].$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f\left(t \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{1}}\in \left(-2;-1 \right) \\
& t={{t}_{2}}\in \left(-1; 0 \right) \\
& t={{t}_{3}}\in \left(1; 2 \right)\left(ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $t={{t}_{1}}\Rightarrow f\left(\cos x \right)-1={{t}_{1}}\Leftrightarrow f\left(\cos x \right)={{t}_{1}}+t\in \left(-1; 0 \right).$
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $f\left(\cos x \right)={{t}_{1}}+1\in \left(-1; 0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x={{a}_{1}}\in \left(-2;-1 \right)\left(Vonghiem \right) \\
& \cos x={{b}_{2}}\in \left(0; 1 \right)\left(2 \right) \\
& \cos x={{b}_{3}}\in \left(1; 2 \right)\left(Vonghiem \right) \\
\end{aligned} \right.$
Trên đoạn $\left[ 0; 3\pi \right]$ phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm phân biệt.