Google
Câu hỏi: Cho $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Định m để bất phương trình dưới đây đúng $\forall x\ge 1$. ${{\log }_{2}}\left[ f\left( x+m \right)+1 \right]<{{\log }_{\sqrt{3}}}f\left( x+m \right)$
A. $m<\dfrac{3}{2}$.
B. $m\ge \dfrac{3}{2}$.
C. $m>\dfrac{3}{2}$.
D. $0\le m<\dfrac{3}{2}$.
A. $m<\dfrac{3}{2}$.
B. $m\ge \dfrac{3}{2}$.
C. $m>\dfrac{3}{2}$.
D. $0\le m<\dfrac{3}{2}$.
Điều kiện $f\left( x+m \right)>0$. Đặt $t=f\left( x+m \right)>0$.
Bất phương trình trở thành: ${{\log }_{2}}\left( t+1 \right)<{{\log }_{\sqrt{3}}}t\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( t+1 \right)-{{\log }_{\sqrt{3}}}t<0 \left( * \right)$ .
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{\log }_{2}}\left( t+1 \right)-{{\log }_{\sqrt{3}}}t$.
Có ${y}'=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 2}-\dfrac{1}{t\ln \sqrt{3}}<0 \forall t>0.$
Suy ra hàm số nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Từ $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)<0\Leftrightarrow f\left( t \right)<f\left( 3 \right)\Leftrightarrow t>3$.
Suy ra $f\left( x+m \right)>3$.
Mà đồ thị hàm số $f\left( x+m \right)$ được tịnh tiến từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ theo phương trục $Ox$ một giá trị đại số $-m$.
Dựa vào đồ thị hàm số $f\left( x \right)$, để $f\left( x+m \right)>3$ $\forall x\ge 1$ thì $-m<-\left( \dfrac{5}{2}-1 \right)\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{2}$.
Bất phương trình trở thành: ${{\log }_{2}}\left( t+1 \right)<{{\log }_{\sqrt{3}}}t\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( t+1 \right)-{{\log }_{\sqrt{3}}}t<0 \left( * \right)$ .
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{\log }_{2}}\left( t+1 \right)-{{\log }_{\sqrt{3}}}t$.
Có ${y}'=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 2}-\dfrac{1}{t\ln \sqrt{3}}<0 \forall t>0.$
Suy ra hàm số nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Từ $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)<0\Leftrightarrow f\left( t \right)<f\left( 3 \right)\Leftrightarrow t>3$.
Suy ra $f\left( x+m \right)>3$.
Mà đồ thị hàm số $f\left( x+m \right)$ được tịnh tiến từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ theo phương trục $Ox$ một giá trị đại số $-m$.
Dựa vào đồ thị hàm số $f\left( x \right)$, để $f\left( x+m \right)>3$ $\forall x\ge 1$ thì $-m<-\left( \dfrac{5}{2}-1 \right)\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{2}$.
Đáp án C.