Cho $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Định m để bất phương trình dưới đây đúng $\mathrm{\forall }x\ge 1$. ${{\log }_{2}}\left[ f\left( x+m...

Điều kiện $f(x+m)>0$. Đặt $t=f(x+m)>0$.
Bất phương trình trở thành: ${\log }_2(t+1)<{\log }_{\sqrt{3}}t\iff {\log }_2(t+1)-{\log }_{\sqrt{3}}t<0(\ast )$ .
Xét hàm số $y=f\left(t\right)={\log }_2(t+1)-{\log }_{\sqrt{3}}t$.
Có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{(t+1)\ln 2}}-{\displaystyle \frac{1}{t\ln \sqrt{3}}}<0\mathrm{\forall }t>0.$
Suy ra hàm số nghịch biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$.
Từ $(\ast )\iff f\left(t\right)<0\iff f\left(t\right)<f\left(3\right)\iff t>3$.
Suy ra $f(x+m)>3$.
Mà đồ thị hàm số $f(x+m)$ được tịnh tiến từ đồ thị hàm số $f\left(x\right)$ theo phương trục $Ox$ một giá trị đại số $-m$.
Dựa vào đồ thị hàm số $f\left(x\right)$, để $f(x+m)>3$ $\mathrm{\forall }x\ge 1$ thì $-m<-({\displaystyle \frac{5}{2}}-1)\iff m>{\displaystyle \frac{3}{2}}$.