Cho $x,y,z$ là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn ${{\log }_{a}}x;{{\log }_{\sqrt{a}}}y;{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}z$ lập thành cấp số cộng. Tính...

Theo bài ra, $x,y,z$ là ba số dương lập thành cấp số nhận và ${{\log }_{a}}x;{{\log }_{\sqrt{a}}}y;{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}z$ lập thành cấp số cộng nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& xz={{y}^{2}} \\
& {{\log }_{a}}x+{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}z=2{{\log }_{\sqrt{a}}}y \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x.z={{y}^{2}} \\
& {{\log }_{a}}x+3{{\log }_{a}}z+4{{\log }_{a}}y \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x.z={{y}^{2}} \\
& {{\log }_{a}}x{{z}^{3}}={{\log }_{a}}{{y}^{4}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& xz={{y}^{2}} \\
& x{{z}^{3}}={{y}^{4}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x.z={{y}^{2}} \\
& {{y}^{2}}{{z}^{2}}={{y}^{4}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x.y={{y}^{2}} \\
& z=y \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=z.$
Do đó: $Q=\dfrac{2017x}{y}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{z}{x}=\dfrac{2017x}{x}+\dfrac{2x}{x}+\dfrac{x}{x}=2017+2+1=2020.$