Google
Câu hỏi: Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2 \\
& x+y+z=2 \\
\end{aligned} \right. $ và hàm số $ f\left( x \right)=\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x \right)\ln 2 $. Đặt hàm số $ g\left( x \right)={{2022}^{f\left( x \right)+x-\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)}}-{{2023}^{\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)-f\left( x \right)-x}} $. Số nghiệm thực của phương trình $ {g}'\left( x \right)=0$ là
A. $3.$
B. $2.$
C. $0.$
D. $1.$
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2 \\
& x+y+z=2 \\
\end{aligned} \right. $ và hàm số $ f\left( x \right)=\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x \right)\ln 2 $. Đặt hàm số $ g\left( x \right)={{2022}^{f\left( x \right)+x-\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)}}-{{2023}^{\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)-f\left( x \right)-x}} $. Số nghiệm thực của phương trình $ {g}'\left( x \right)=0$ là
A. $3.$
B. $2.$
C. $0.$
D. $1.$
Từ hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2 \\
& x+y+z=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+z=2-x \\
& yz={{x}^{2}}-2x+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y,z$ là nghiệm của phương trình:
${{t}^{2}}-\left( 2-x \right)t+{{x}^{2}}-2x+1=0\begin{matrix}
{} & \left( 1 \right) \\
\end{matrix}$
Hệ có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm. Tức là
${{\left( 2-x \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow 4x-3{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow x\in \left[ 0;\dfrac{4}{3} \right]$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{2022}^{f\left( x \right)+x-\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)}}-{{2023}^{\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)-f\left( x \right)-x}}$ trên $\left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$
Đặt $h\left( x \right)=f\left( x \right)+x-\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)$.
Ta có: $g\left( x \right)={{2022}^{h\left( x \right)}}-{{2023}^{-h\left( x \right)}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)={h}'\left( x \right)\left( {{2022}^{h\left( x \right)}}\ln 2022+{{2023}^{-h\left( x \right)}}\ln 2023 \right)$.
Vì ${{2022}^{h\left( x \right)}}\ln 2022+{{2023}^{-h\left( x \right)}}\ln 2023>0,\forall x\in \left[ 0;\dfrac{4}{3} \right]$ nên dó đó:
$\begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)-\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)\ln 2=\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right) \\
& \begin{matrix}
\begin{matrix}
\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix} & {} & {} & {} \\
\end{matrix} & {} & {} & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1={{\log }_{2}}\left( x-1+\sqrt{3} \right)\begin{matrix}
{} & \left( 2 \right) \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \\
\end{aligned}$
Nhận xét: VT là hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$ vfa VP là hàm số đồng biến trên $\left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$ nên phương trình (2) nếu có nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$ thì đó là nghiệm duy nhất.
Mà $x=2-\sqrt{3}\in \left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$ thỏa mãn phương trình (2) nên ${g}'\left( x \right)=0$ có duy nhất 1 nghiệm.
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2 \\
& x+y+z=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+z=2-x \\
& yz={{x}^{2}}-2x+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y,z$ là nghiệm của phương trình:
${{t}^{2}}-\left( 2-x \right)t+{{x}^{2}}-2x+1=0\begin{matrix}
{} & \left( 1 \right) \\
\end{matrix}$
Hệ có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm. Tức là
${{\left( 2-x \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow 4x-3{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow x\in \left[ 0;\dfrac{4}{3} \right]$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{2022}^{f\left( x \right)+x-\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)}}-{{2023}^{\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)-f\left( x \right)-x}}$ trên $\left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$
Đặt $h\left( x \right)=f\left( x \right)+x-\left( x-1+\sqrt{3} \right)\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)$.
Ta có: $g\left( x \right)={{2022}^{h\left( x \right)}}-{{2023}^{-h\left( x \right)}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)={h}'\left( x \right)\left( {{2022}^{h\left( x \right)}}\ln 2022+{{2023}^{-h\left( x \right)}}\ln 2023 \right)$.
Vì ${{2022}^{h\left( x \right)}}\ln 2022+{{2023}^{-h\left( x \right)}}\ln 2023>0,\forall x\in \left[ 0;\dfrac{4}{3} \right]$ nên dó đó:
$\begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)-\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right)=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)\ln 2=\ln \left( x-1+\sqrt{3} \right) \\
& \begin{matrix}
\begin{matrix}
\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix} & {} & {} & {} \\
\end{matrix} & {} & {} & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1={{\log }_{2}}\left( x-1+\sqrt{3} \right)\begin{matrix}
{} & \left( 2 \right) \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \\
\end{aligned}$
Nhận xét: VT là hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$ vfa VP là hàm số đồng biến trên $\left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$ nên phương trình (2) nếu có nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$ thì đó là nghiệm duy nhất.
Mà $x=2-\sqrt{3}\in \left[ 0;\dfrac{3}{4} \right]$ thỏa mãn phương trình (2) nên ${g}'\left( x \right)=0$ có duy nhất 1 nghiệm.
Đáp án D.