Cho x, y là các số thực thỏa mãn ${{\left( {x - 3} \right)^2} +...

Điều kiện: $x+2y+1\ne 0$
$\begin{aligned}
& P=\dfrac{3{{y}^{2}}+4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}=\dfrac{3{{y}^{2}}+4xy+7x+4y-1+{{\left( x3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}5}{x+2y+1} \\
& =\dfrac{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+4xy+x+2y+4}{x+2y+1}=\dfrac{{{\left( x+2y \right)}^{2}}+\left( x+2y \right)+4}{x+2y+1} \\
\end{aligned}$
Ta có ${{(x+2y-5)}^{2}}={{((x-3)+2(y-1))}^{2}}\le 5({{(x-3)}^{2}}(y-{{1}^{2}})=25.$
Suy ra $1\le x+2y+1\le 11$
Đặt t = x+ 2y +1 ta có $P=f\left( t \right)=\dfrac{{{\left( t-1 \right)}^{2}}+\left( t-1 \right)+4}{t}=\dfrac{{{t}^{2}}-t+4}{t}=t+\dfrac{4}{t}-1$ với 1≤ t ≤ 11.
$f'\left( t \right)=1-\dfrac{4}{{{t}^{2}}};f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2$
Bảng biến thiên của f(t)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y=1 \\
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1;y=0 \\
& x=\dfrac{17}{5};y=-\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.$