Google
Câu hỏi: Cho $x;y$ là các số thực dương và thõa mãn $\dfrac{{{x}^{2}}+1}{\sqrt{y}}=\dfrac{y+1}{x}$. Giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $P=\dfrac{y+4}{x}$ là
A. $m=3$.
B. $m=2\sqrt{2}$.
C. $m=4$.
D. $m=8$.
A. $m=3$.
B. $m=2\sqrt{2}$.
C. $m=4$.
D. $m=8$.
Theo đề bài $\dfrac{{{x}^{2}}+1}{\sqrt{y}}=\dfrac{y+1}{x}\Leftrightarrow x({{x}^{2}}+1)=\sqrt{y}(y+1)\Leftrightarrow {{x}^{3}}+x={{\left( \sqrt{y} \right)}^{3}}+\sqrt{y}$. (1)
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ trên $(0;+\infty )$ :
Ta có: ${y}'={f}'(t)=3{{t}^{2}}+1>0\text{ }\forall t\in (0;+\infty )$. Do đó đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt{y}$.
Khi đó $P=\dfrac{y+4}{x}=\dfrac{y+4}{\sqrt{y}}=\sqrt{y}+\dfrac{4}{\sqrt{y}}$.
Áp dụng BĐT Cô-si ta được : $P=\sqrt{y}+\dfrac{4}{\sqrt{y}}\ge 2\sqrt{\sqrt{y}.\dfrac{4}{\sqrt{y}}}\Leftrightarrow P\ge 4.$
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{y}=\dfrac{4}{\sqrt{y}}\Leftrightarrow y=4\Leftrightarrow x=2$
Vậy ${{P}_{\min }}=4\Leftrightarrow x=2;y=4$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ trên $(0;+\infty )$ :
Ta có: ${y}'={f}'(t)=3{{t}^{2}}+1>0\text{ }\forall t\in (0;+\infty )$. Do đó đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt{y}$.
Khi đó $P=\dfrac{y+4}{x}=\dfrac{y+4}{\sqrt{y}}=\sqrt{y}+\dfrac{4}{\sqrt{y}}$.
Áp dụng BĐT Cô-si ta được : $P=\sqrt{y}+\dfrac{4}{\sqrt{y}}\ge 2\sqrt{\sqrt{y}.\dfrac{4}{\sqrt{y}}}\Leftrightarrow P\ge 4.$
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{y}=\dfrac{4}{\sqrt{y}}\Leftrightarrow y=4\Leftrightarrow x=2$
Vậy ${{P}_{\min }}=4\Leftrightarrow x=2;y=4$
Đáp án C.