Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{\dfrac{4}{3}}}x={{\log }_{3}}y={{\log }_{2}}\left( 2x-3y \right).$ Giá trị của $\dfrac{x}{y}$ bằng:

Phương pháp:
- Đặt ${{\log }_{\dfrac{4}{3}}}x={{\log }_{3}}y={{\log }_{3}}\left( 2x-3y \right)=t.$ Xác định $x,y,2x-3y$ theo $t.$
- Thay $x,y$ theo $t$ vào $2x-3y,$ đưa phương trình về dạng ẩn $t$.
- Đặt ẩn phụ ${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}=a\left( a>0 \right),$ đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn $a.$
- Giải phương trình tìm $a$, từ đó tìm $\dfrac{x}{y}.$
Cách giải:
Đặt ${{\log }_{\dfrac{4}{3}}}x={{\log }_{3}}y={{\log }_{3}}\left( 2x-3y \right)=t.$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& x={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}} \\
& y={{3}^{t}} \\
& 2x-3y={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2.{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}-{{3.3}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow 2.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}-3.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}-1=0\left( 1 \right)$
Đặt ${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}=a\left( a>0 \right),$ khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành:
$2a-\dfrac{3}{a}-1=0\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-a-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-1\left( loai \right) \\
& a=\dfrac{3}{2}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\dfrac{x}{y}={{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{t}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2t}}={{a}^{2}}=\dfrac{9}{4}.$