Google
Câu hỏi: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{2}}x=2{{\log }_{3}}y=2{{\log }_{5}}\left( x+y \right)$. Tính giá trị của $T={{x}^{2}}-{{y}^{2}}$.
A. $T=-1$.
B. $T=175$.
C. $T=28$.
D. $T=13$.
A. $T=-1$.
B. $T=175$.
C. $T=28$.
D. $T=13$.
Vì ${{\log }_{2}}x=2{{\log }_{3}}y=2{{\log }_{5}}\left( x+y \right)=2t\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{4}^{t}} \\
& y={{3}^{t}} \\
& x+y={{5}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có ${{4}^{t}}+{{3}^{t}}={{5}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}=1$.
Nhận xét rằng $t=2$ là nghiệm của phương trình trên.
Lại có $y={{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}$ là hàm số nghịch biến nên $t=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình trên.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=16 \\
& y=9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=175$.
& x={{4}^{t}} \\
& y={{3}^{t}} \\
& x+y={{5}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có ${{4}^{t}}+{{3}^{t}}={{5}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}=1$.
Nhận xét rằng $t=2$ là nghiệm của phương trình trên.
Lại có $y={{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}$ là hàm số nghịch biến nên $t=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình trên.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=16 \\
& y=9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=175$.
Đáp án B.