Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-xy+3=0 \\ & 2x+3y-14\le 0 \\ \end{aligned} \right.. $...

Phương pháp:
- Rút $y$ theo $x$ từ phương trình thứ nhất, thế vào bất phương trình thứ hai tìm khoảng giá trị của $x.$
- Thế $y$ theo $x$ vào biểu thức $P,$ đưa biểu thức $P$ về 1 biến $x,$ sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.
Cách giải:
Với $x,y$ là các số thực dương ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-xy+3=0 \\
& 2x+3y-14\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=\dfrac{{{x}^{2}}+3}{x} \\
& 2x+\dfrac{3{{x}^{2}}+9}{x}-14\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=\dfrac{{{x}^{2}}+3}{x} \\
& 2{{x}^{2}}+3{{x}^{2}}+9-14x\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=\dfrac{{{x}^{2}}+3}{x} \\
& 1\le x\le \dfrac{9}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có
$P=3{{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}-2{{x}^{3}}+2x$
$P=\left( {{x}^{2}}-xy+3 \right)y+2{{x}^{2}}y-2{{x}^{3}}+2x-3y$
$P=2{{x}^{2}}y-2{{x}^{3}}+2x-3y$
$P=2{{x}^{2}}.\dfrac{{{x}^{2}}+3}{x}-2{{x}^{3}}+2x-3.\dfrac{{{x}^{2}}+3}{x}$
$P=2{{x}^{3}}+6x-2{{x}^{3}}+2x-3x-\dfrac{9}{x}$
$P=5x-\dfrac{9}{x}$
Xét hàm số $P=5x-\dfrac{9}{x}$ với $1\le x\le \dfrac{9}{5}$. Ta có: $P'=5+\dfrac{9}{{{x}^{2}}}>0\forall x$ nên hàm số đồng biến $\left( 1;\dfrac{9}{5} \right).$
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;\dfrac{9}{5} \right]}{\mathop{\min }} P=P\left( 1 \right)=-4 \\
& \underset{\left[ 1;\dfrac{9}{5} \right]}{\mathop{\max }} P=P\left( \dfrac{9}{5} \right)=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 1;\dfrac{9}{5} \right]}{\mathop{\min }} P+\underset{\left[ 1;\dfrac{9}{5} \right]}{\mathop{\max }} P=0\in \left( -2;2 \right).$