Cho $x,y$ là các số thực dương khác $1$ thỏa mãn $x\ne y$ và...

ĐK: $0<x,y\ne 1$
Ta có ${{\log }_{x}}\sqrt{xy}={{\log }_{y}}x\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( 1+{{\log }_{x}}y \right)=\dfrac{1}{{{\log }_{x}}y}\Leftrightarrow \log _{x}^{2}y+{{\log }_{x}}y-2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{x}}y=1 \\
& {{\log }_{x}}y=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=y \\
& y=\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right. $ kết hợp điều kiện $ x\ne y $suy ra $ y=\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \left( 1 \right)$
Khi đó $P={{4}^{y}}+{{4}^{y}}={{2.4}^{y}}={{2}^{2y+1}}$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ (ẩn $x$ tham số $y$ ) có nghiệm dương khác 1 khi và chỉ khi $y$ dương và khác 1. Phương trình ${{2}^{2y+1}}=P$ (ẩn $y$ tham số $P$ ) có nghiệm dương khác 1 khi và chỉ khi $P>2$ và $P\ne 8$
Lại có $P$ nguyên và nhỏ hơn $2021$ nên $P\in \left\{ 3;4;5;...,2020 \right\}\backslash \left\{ 8 \right\}$.
Vậy tích các giá trị cần tìm là $\dfrac{2020!}{16}$.