Cho $x$, $y$ là các số thực dương khác $1$. Hỏi có bao nhiêu cặp...

Theo đề bài ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\log }_{x}}y={{\log }_{y}}x\left( 1 \right) \\
{{\log }_{x}}\left( x-y \right)={{\log }_{y}}\left( x+y \right)\left( 2 \right) \\
\end{array} \right. $ $ \left( x>y>0;x,y\ne 1 \right)$
${{\log }_{x}}y={{\log }_{y}}x$
$\Leftrightarrow \dfrac{\ln y}{\ln x}=\dfrac{\ln x}{\ln y}$ $\Leftrightarrow {{\ln }^{2}}y={{\ln }^{2}}x$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
\ln y=\ln x \\
\ln y=-\ln x=\ln \dfrac{1}{x} \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
y=x \\
y=\dfrac{1}{x} \\
\end{array} \right.$.
Với $y=x$ loại vì điều kiện $x-y>0$.
Thay $y=\dfrac{1}{x}$ vào phương trình $\left( 2 \right)$, ta được:
${{\log }_{x}}\left( x-\dfrac{1}{x} \right)={{\log }_{\dfrac{1}{x}}}\left( x+\dfrac{1}{x} \right)=-{{\log }_{x}}\left( x+\dfrac{1}{x} \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=1$ $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-{{x}^{2}}-1=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}>0$
$\Rightarrow y=\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}$
Vậy có 1 cặp số thực $\left( x,y \right)$ thỏa YCBT.