Google
Câu hỏi: Cho $x,y$ là các số dương thỏa mãn ${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}}}+1+{{x}^{2}}-10xy+9{{y}^{2}}\le 0.$ Gọi $M,m$ lần lượt
là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac{{{x}^{2}}+xy+9{{y}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}}.$ Tính $T=10M-m.$
A. $T=60$
B. $T=94$
C. $T=104$
D. $T=50$
là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac{{{x}^{2}}+xy+9{{y}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}}.$ Tính $T=10M-m.$
A. $T=60$
B. $T=94$
C. $T=104$
D. $T=50$
Phương pháp:
- Xét hàm đặc trưng, tìm mối liên hệ giữa $x,y.$
- Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho ${{y}^{2}}\ne 0,$ đặt ẩn phụ $t=\dfrac{x}{y},$ tìm khoảng giá trị của $t.$
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN, GTNN của biểu thức P.
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}}}+1+{{x}^{2}}-10xy+9{{y}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+5{{y}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2}}2+2\left( {{x}^{2}}+5{{y}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right)\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+10{{y}^{2}} \right)+2\left( {{x}^{2}}+5{{y}^{2}} \right)\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có: $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{\ln 2}+1>0\forall t>0,$ do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right),$ mà ta lại có $f\left( 2{{x}^{2}}+10{{y}^{2}} \right)=f\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right).$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+10{{y}^{2}}\le {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-10xy+9{{y}^{2}}\le 0.$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-10\left( \dfrac{x}{y} \right)+9\le 0\Leftrightarrow 1\le \dfrac{x}{y}\le 9.$
Ta có: $P=\dfrac{{{x}^{2}}+xy+9{{y}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}}=\dfrac{{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}+\dfrac{x}{y}+9}{\dfrac{x}{y}+1}.$
Đặt $t=\dfrac{x}{y},$ điều kiện $1\le t\le 9$ ta có: $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}.$
Có $f'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-8}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}};f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-4\left( ktm \right) \\
& t=2\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
$f\left( 1 \right)=\dfrac{11}{2},f\left( 2 \right)=5,f\left( 9 \right)=\dfrac{99}{10}.$
Nên $M=\dfrac{99}{10},m=5.$ Vậy $T=10M-m=94.$
- Xét hàm đặc trưng, tìm mối liên hệ giữa $x,y.$
- Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho ${{y}^{2}}\ne 0,$ đặt ẩn phụ $t=\dfrac{x}{y},$ tìm khoảng giá trị của $t.$
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN, GTNN của biểu thức P.
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}}}+1+{{x}^{2}}-10xy+9{{y}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+5{{y}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2}}2+2\left( {{x}^{2}}+5{{y}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right)\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+10{{y}^{2}} \right)+2\left( {{x}^{2}}+5{{y}^{2}} \right)\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có: $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{\ln 2}+1>0\forall t>0,$ do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right),$ mà ta lại có $f\left( 2{{x}^{2}}+10{{y}^{2}} \right)=f\left( {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}} \right).$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+10{{y}^{2}}\le {{x}^{2}}+10xy+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-10xy+9{{y}^{2}}\le 0.$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-10\left( \dfrac{x}{y} \right)+9\le 0\Leftrightarrow 1\le \dfrac{x}{y}\le 9.$
Ta có: $P=\dfrac{{{x}^{2}}+xy+9{{y}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}}=\dfrac{{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}+\dfrac{x}{y}+9}{\dfrac{x}{y}+1}.$
Đặt $t=\dfrac{x}{y},$ điều kiện $1\le t\le 9$ ta có: $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}.$
Có $f'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-8}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}};f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-4\left( ktm \right) \\
& t=2\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
$f\left( 1 \right)=\dfrac{11}{2},f\left( 2 \right)=5,f\left( 9 \right)=\dfrac{99}{10}.$
Nên $M=\dfrac{99}{10},m=5.$ Vậy $T=10M-m=94.$
Đáp án B.