Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $SA=SB=SC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},\ BC=a$. Tính cosin của góc giữa $SA$ và $\left( ABC \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $O$ là trung điểm của $BC$, vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ mà $SA=SB=SC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra: $SO\bot \left( ABC \right)\Rightarrow OA$ là hình chiếu của $SA$ trên $\left( ABC \right)\Rightarrow \left( SA,\left( ABC \right) \right)=\left( SA,AO \right)=\widehat{SAO}$.
Xét $\Delta SAO$ vuông tại $O$ có: $AO=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\Rightarrow \cos \widehat{SAO}=\dfrac{AO}{SA}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
Suy ra: $SO\bot \left( ABC \right)\Rightarrow OA$ là hình chiếu của $SA$ trên $\left( ABC \right)\Rightarrow \left( SA,\left( ABC \right) \right)=\left( SA,AO \right)=\widehat{SAO}$.
Xét $\Delta SAO$ vuông tại $O$ có: $AO=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\Rightarrow \cos \widehat{SAO}=\dfrac{AO}{SA}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án B.