Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm $O$ đến các đường thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt là $a,a\sqrt{2},a\sqrt{3}.$ Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ theo $a.$
A. $2a.$
B. $\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$
C. $\dfrac{11a}{6}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{33}}{11}$
A. $2a.$
B. $\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$
C. $\dfrac{11a}{6}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{33}}{11}$
Phương pháp:
- Kẻ $OM\bot AC\left( M\in AC \right),ON\bot AB\left( N\in AB \right),OP\bot BC\left( P\in BC \right).$ Khi đó ta có
$OP=a,OM=a\sqrt{2},ON=a\sqrt{3}.$
- Trong $\left( OCN \right)$ kẻ $OH\bot CN\left( H\in CN \right),$ chứng minh $OH\bot \left( ABC \right)$.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:
Kẻ $OM\bot AC\left( M\in AC \right),ON\bot AB\left( N\in AB \right),OP\bot BC\left( P\in BC \right).$
Khi đó ta có $OP=a,OM=a\sqrt{2},ON=a\sqrt{3}.$
Trong $\left( OCN \right)$ kẻ $OH\bot CN\left( H\in CN \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot ON \\
& AB\bot OC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( OCN \right)\Rightarrow AB\bot OH$
$\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot CN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow d\left( O;\left( ABC \right) \right)=OH$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}$
Lại có
$\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}};\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}};\dfrac{1}{O{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{P}^{2}}}=2\left( \dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{P}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \right)=\dfrac{11}{12{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{11}{12{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{2a\sqrt{33}}{11}$
Vậy $d\left( O;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{33}}{11}.$
- Kẻ $OM\bot AC\left( M\in AC \right),ON\bot AB\left( N\in AB \right),OP\bot BC\left( P\in BC \right).$ Khi đó ta có
$OP=a,OM=a\sqrt{2},ON=a\sqrt{3}.$
- Trong $\left( OCN \right)$ kẻ $OH\bot CN\left( H\in CN \right),$ chứng minh $OH\bot \left( ABC \right)$.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:
Kẻ $OM\bot AC\left( M\in AC \right),ON\bot AB\left( N\in AB \right),OP\bot BC\left( P\in BC \right).$
Khi đó ta có $OP=a,OM=a\sqrt{2},ON=a\sqrt{3}.$
Trong $\left( OCN \right)$ kẻ $OH\bot CN\left( H\in CN \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot ON \\
& AB\bot OC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( OCN \right)\Rightarrow AB\bot OH$
$\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot CN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow d\left( O;\left( ABC \right) \right)=OH$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}$
Lại có
$\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}};\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}};\dfrac{1}{O{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{P}^{2}}}=2\left( \dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{P}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \right)=\dfrac{11}{12{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{11}{12{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{2a\sqrt{33}}{11}$
Vậy $d\left( O;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{33}}{11}.$
Đáp án D.