Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $O.ABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau, $OA=a$ và $OB=OC=2a.$ Gọi $P$ là trung điểm của $BC$ (minh họa như hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $OP$ và $AB$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}a}{3}.$
C. $a.$
D. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, khi đó $O\left( 0;0;0 \right),B\left( 2a;0;0 \right),C\left( 0;2a;0 \right),A\left( 0;0;a \right).$
Vì $P$ là trung điểm của $BC$ nên $P\left( a;a;0 \right).$
Ta có: $\overrightarrow{OP}=\left( a;a;0 \right),\overrightarrow{AB}=\left( 2a;0;-a \right),\overrightarrow{OA}=\left( 0;0;a \right).$
Suy ra $\left[ \overrightarrow{OP},\overrightarrow{AB} \right]=\left( -{{a}^{2}};{{a}^{2}};-2{{a}^{2}} \right)\Rightarrow d\left( OP,AB \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OP},\overrightarrow{AB} \right].\overrightarrow{OA} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{OP},\overrightarrow{AB} \right] \right|}=\dfrac{\left| -2{{a}^{3}} \right|}{\sqrt{{{a}^{4}}+{{a}^{4}}+4{{a}^{4}}}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}a}{3}.$
C. $a.$
D. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, khi đó $O\left( 0;0;0 \right),B\left( 2a;0;0 \right),C\left( 0;2a;0 \right),A\left( 0;0;a \right).$
Vì $P$ là trung điểm của $BC$ nên $P\left( a;a;0 \right).$
Ta có: $\overrightarrow{OP}=\left( a;a;0 \right),\overrightarrow{AB}=\left( 2a;0;-a \right),\overrightarrow{OA}=\left( 0;0;a \right).$
Suy ra $\left[ \overrightarrow{OP},\overrightarrow{AB} \right]=\left( -{{a}^{2}};{{a}^{2}};-2{{a}^{2}} \right)\Rightarrow d\left( OP,AB \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OP},\overrightarrow{AB} \right].\overrightarrow{OA} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{OP},\overrightarrow{AB} \right] \right|}=\dfrac{\left| -2{{a}^{3}} \right|}{\sqrt{{{a}^{4}}+{{a}^{4}}+4{{a}^{4}}}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}.$
Đáp án B.