Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều có chiều cao bằng $h$. Thể tích của khối tứ diện đã cho là
A. $V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{4}$.
B. $V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}$.
C. $V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}$.
D. $V=\frac{2\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}$.
A. $V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{4}$.
B. $V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}$.
C. $V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}$.
D. $V=\frac{2\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}$.
Giả sử cạnh của tứ diện đều đó là $x$. Khi đó diện tích tam giác $BCD$ là $\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khi đó $AH$ là đường cao của tứ diện đều đó và
$AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\frac{x\sqrt{6}}{3}=h\Rightarrow x=\frac{3h}{\sqrt{6}}$. Nên thể tích khối tứ diện đã cho là:
$V=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BCD}}=\frac{1}{3}h.\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khi đó $AH$ là đường cao của tứ diện đều đó và
$AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\frac{x\sqrt{6}}{3}=h\Rightarrow x=\frac{3h}{\sqrt{6}}$. Nên thể tích khối tứ diện đã cho là:
$V=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BCD}}=\frac{1}{3}h.\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Đáp án B.