Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BN$ và $CM$.
A. $\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{22}}{22}$
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
Dựng hình chữ nhật $BNCE$.
Ta có: $AO\bot (BCD)$, Gọi $H$ là trung điểm của $BO$ thì $MH\bot (BCD)$.
$d(BN;CM)=d(BN;(CME))=d(H;(CME))$.
Gọi $K$ là trung điểm của $CE$ khi đó $EC\bot (MHK)$.
Hạ $HI\bot MK$ thì $HI\bot (CME)$ và $d(H;(CME))=HI$.
$AO=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow MH=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$, $KH=\dfrac{a}{2}$.
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{10}{{{a}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{22}}{22}$
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
Dựng hình chữ nhật $BNCE$.
Ta có: $AO\bot (BCD)$, Gọi $H$ là trung điểm của $BO$ thì $MH\bot (BCD)$.
$d(BN;CM)=d(BN;(CME))=d(H;(CME))$.
Gọi $K$ là trung điểm của $CE$ khi đó $EC\bot (MHK)$.
Hạ $HI\bot MK$ thì $HI\bot (CME)$ và $d(H;(CME))=HI$.
$AO=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow MH=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$, $KH=\dfrac{a}{2}$.
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{10}{{{a}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
Đáp án A.