Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC,ABD,ACD.$ Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại...

Phương pháp:
- Gọi $M',N',P'$ lần lượt là trung điểm của $BC,BD,CD,G,I$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD,MNP.$ Tính $\dfrac{{{S}_{\Delta MNP}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}$ dựa vào tỉ số tam giác đồng dạng.
- Tính tỉ số $\dfrac{OI}{AG},$ sử dụng định lí Ta-lét.
- Tính $\dfrac{{{V}_{OMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{OI}{AG}.\dfrac{{{S}_{\Delta MNP}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}.$
- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích tứ diện đều cạnh $a$ là $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Cách giải:

Gọi $M',N',P'$ lần lượt là trung điểm của $BC,BD,CD,G,I$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD,MNP.$
Ta có: $\dfrac{MN}{M'N'}=\dfrac{AM}{AM'}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \Delta MNP\backsim \Delta M'N'P'$ theo tỉ số $\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta MNP}}=\dfrac{4}{9}{{S}_{\Delta M'N'P'}}.$
Lại có $\Delta M'N'P'\backsim \Delta DCB$ theo tỉ số $\dfrac{1}{2}$ nên ${{S}_{\Delta MNP}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta BCD}}\Rightarrow {{S}_{\Delta M'N'P'}}=\dfrac{1}{9}{{S}_{\Delta BCD}}$
Vì $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên $\dfrac{AO}{AG}=\dfrac{3}{4}.$
Áp dụng định lí Ta-lét: $\dfrac{AI}{AG}=\dfrac{AM}{AM'}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{AI}{AO}=\dfrac{AI}{AG}:\dfrac{AO}{AG}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{4}=\dfrac{8}{9}$
$\Rightarrow \dfrac{OI}{AO}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow \dfrac{OI}{AG}=\dfrac{OI}{AO}.\dfrac{AO}{AG}=\dfrac{1}{9}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{12}.$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{OMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{1}{12}.\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{108}\Rightarrow {{V}_{OMNP}}=\dfrac{1}{108}{{V}_{ABCD}}.$
Mà $ABCD$ là tứ diện đều cạnh 1 nên ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}.$
Vậy ${{V}_{OMNP}}=\dfrac{\sqrt{2}}{1296}.$