Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh đáy bằng $a,M$ là trung điểm của $CD.$ Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $AC,BM.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. 0
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. 0
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
Phương pháp:
- Gọi $N$ là trung điểm của $AD,$ chứng minh $\angle \left( AC;BM \right)=\angle \left( MN;BM \right)$
- Tính các cạnh của tam giác $BMN,$ sử dụng định lí Co-sin trong tam giác: $\cos \angle BMN=\dfrac{B{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}-B{{N}^{2}}}{2BM.MN}$
Cách giải:
Gọi $N$ là trung điểm của $AD,$ ta có $MN//AC$ ( $MN$ là đường trung bình của $\Delta ACD$ )
$\Rightarrow \angle \left( AC;BM \right)=\angle \left( MN;BM \right)$.
$\Delta ABD,\Delta BCD$ là các tam giác đều cạnh $a$ nên $BM=BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$MN$ là đường trung bình của $\Delta ACD$ nên $MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}.$
Áp dụng định lí Co-sin trong tam giác $BMN:\cos \angle BMN=\dfrac{B{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}-B{{N}^{2}}}{2BM.MN}=\dfrac{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}{2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
- Gọi $N$ là trung điểm của $AD,$ chứng minh $\angle \left( AC;BM \right)=\angle \left( MN;BM \right)$
- Tính các cạnh của tam giác $BMN,$ sử dụng định lí Co-sin trong tam giác: $\cos \angle BMN=\dfrac{B{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}-B{{N}^{2}}}{2BM.MN}$
Cách giải:
Gọi $N$ là trung điểm của $AD,$ ta có $MN//AC$ ( $MN$ là đường trung bình của $\Delta ACD$ )
$\Rightarrow \angle \left( AC;BM \right)=\angle \left( MN;BM \right)$.
$\Delta ABD,\Delta BCD$ là các tam giác đều cạnh $a$ nên $BM=BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$MN$ là đường trung bình của $\Delta ACD$ nên $MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}.$
Áp dụng định lí Co-sin trong tam giác $BMN:\cos \angle BMN=\dfrac{B{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}-B{{N}^{2}}}{2BM.MN}=\dfrac{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}{2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
Đáp án A.