Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là...

Thể tích khối tứ diện $ABCD$ cạnh $a$ là $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}$.
Gọi $P=EN\cap CD$ và $Q=EM\cap AD$
$\Rightarrow P,Q$ lần lượt là trọng tâm của $\mathrm{\Delta }BCE$ và $\mathrm{\Delta }ABE$.
Thể tích khối đa điện chứa đỉnh A là
$V=V_{ABCD}-V_{PQD.NMB}=V_{ABCD}-(V_{M.BNE}-V_{Q.PDE})$.
Gọi S là diện tích tam giác $BCD\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }CDE}=S_{\mathrm{\Delta }BNE}=S$.
$S_{\mathrm{\Delta }PDE}={\displaystyle \frac{1}{3}}.S_{\mathrm{\Delta }CDE}={\displaystyle \frac{S}{3}}$.
Gọi $h$ là chiều cao của tứ diện $ABCD$
$\Rightarrow d[M,\left(BCD\right)]={\displaystyle \frac{h}{2}};d[Q,\left(BCD\right)]={\displaystyle \frac{h}{3}}$
$\Rightarrow V_{M.BNE}={\displaystyle \frac{1}{2}}{S}_{\mathrm{\Delta }BNE}.d[M,\left(BCD\right)]={\displaystyle \frac{S.h}{6}};V_{Q.PDE}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{\mathrm{\Delta }PDE}.d[Q,\left(BCD\right)]={\displaystyle \frac{S.h}{27}}$.
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là
$SV={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh-({\displaystyle \frac{Sh}{6}}-{\displaystyle \frac{Sh}{27}})={\displaystyle \frac{11}{18}}.{\displaystyle \frac{1}{3}}Sh={\displaystyle \frac{11}{18}}.{\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}={\displaystyle \frac{11\sqrt{2}{a}^3}{216}}$.