Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC$ và $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $D$. Mặt phẳng $\left( MNE \right)$ chia khối tứ diện $ABCD$ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $A$ có thể tích $V$. Khi đó, $V$ bằng
A. $V=\dfrac{7\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
B. $V=\dfrac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
C. $V=\dfrac{13\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{18}$.
Thể tích khối tứ diện $ABCD$ cạnh $a$ là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Gọi $P=EN\cap CD$ và $Q=EM\cap AD$
$\Rightarrow P,Q$ lần lượt là trọng tâm của $\Delta BCE$ và $\Delta ABE$.
Thể tích khối đa điện chứa đỉnh A là
$V={{V}_{ABCD}}-{{V}_{PQD.NMB}}={{V}_{ABCD}}-\left( {{V}_{M.BNE}}-{{V}_{Q.PDE}} \right)$.
Gọi S là diện tích tam giác $BCD\Rightarrow {{S}_{\Delta CDE}}={{S}_{\Delta BNE}}=S$.
${{S}_{\Delta PDE}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta CDE}}=\dfrac{S}{3}$.
Gọi $h$ là chiều cao của tứ diện $ABCD$
$\Rightarrow d\left[ M,\left( BCD \right) \right]=\dfrac{h}{2};d\left[ Q,\left( BCD \right) \right]=\dfrac{h}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{M.BNE}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta BNE}}.d\left[ M,\left( BCD \right) \right]=\dfrac{S.h}{6};{{V}_{Q.PDE}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta PDE}}.d\left[ Q,\left( BCD \right) \right]=\dfrac{S.h}{27}$.
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là
$SV=\dfrac{1}{3}Sh-\left( \dfrac{Sh}{6}-\dfrac{Sh}{27} \right)=\dfrac{11}{18}.\dfrac{1}{3}Sh=\dfrac{11}{18}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
A. $V=\dfrac{7\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
B. $V=\dfrac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
C. $V=\dfrac{13\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{18}$.
Thể tích khối tứ diện $ABCD$ cạnh $a$ là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Gọi $P=EN\cap CD$ và $Q=EM\cap AD$
$\Rightarrow P,Q$ lần lượt là trọng tâm của $\Delta BCE$ và $\Delta ABE$.
Thể tích khối đa điện chứa đỉnh A là
$V={{V}_{ABCD}}-{{V}_{PQD.NMB}}={{V}_{ABCD}}-\left( {{V}_{M.BNE}}-{{V}_{Q.PDE}} \right)$.
Gọi S là diện tích tam giác $BCD\Rightarrow {{S}_{\Delta CDE}}={{S}_{\Delta BNE}}=S$.
${{S}_{\Delta PDE}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta CDE}}=\dfrac{S}{3}$.
Gọi $h$ là chiều cao của tứ diện $ABCD$
$\Rightarrow d\left[ M,\left( BCD \right) \right]=\dfrac{h}{2};d\left[ Q,\left( BCD \right) \right]=\dfrac{h}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{M.BNE}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta BNE}}.d\left[ M,\left( BCD \right) \right]=\dfrac{S.h}{6};{{V}_{Q.PDE}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta PDE}}.d\left[ Q,\left( BCD \right) \right]=\dfrac{S.h}{27}$.
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là
$SV=\dfrac{1}{3}Sh-\left( \dfrac{Sh}{6}-\dfrac{Sh}{27} \right)=\dfrac{11}{18}.\dfrac{1}{3}Sh=\dfrac{11}{18}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
Đáp án B.