Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 6 $\sqrt{2}$. Ở bốn đỉnh tứ diện người ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng x. Biết khối đa diện còn lại sau khi cắt có thể tích bằng $\dfrac{1}{2}$ thể tích khối tứ diện ABCD. Giá trị của x là
A. $3\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$
4 góc cắt đi là các tứ diện bằng nhau nên 4 tứ diện này có cùng thể tích.
Gọi thể tích của một khối tứ diện cắt đi là V 1, thể tích khối tứ diện ABCD là V và thể tích khối đa diện sau khi cắt bỏ góc là V 2.
Ta có: ${{V}_{2}}=V-4{{V}_{1}}$ mà ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{2}V\Rightarrow V=8{{V}_{1}}\left( 1 \right)$
Xét khối tứ diện đều ở đỉnh A là ABCDcó các cạnh là x.
Ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{x}{6\sqrt{2}}.\dfrac{x}{6\sqrt{2}}.\dfrac{x}{6\sqrt{2}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{3}}}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{3}}}V \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{3}}}8.{{V}_{1}}\Rightarrow {{x}^{3}}={{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{3}}\Rightarrow x=3\sqrt{2}$
A. $3\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$
4 góc cắt đi là các tứ diện bằng nhau nên 4 tứ diện này có cùng thể tích.
Gọi thể tích của một khối tứ diện cắt đi là V 1, thể tích khối tứ diện ABCD là V và thể tích khối đa diện sau khi cắt bỏ góc là V 2.
Ta có: ${{V}_{2}}=V-4{{V}_{1}}$ mà ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{2}V\Rightarrow V=8{{V}_{1}}\left( 1 \right)$
Xét khối tứ diện đều ở đỉnh A là ABCDcó các cạnh là x.
Ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{x}{6\sqrt{2}}.\dfrac{x}{6\sqrt{2}}.\dfrac{x}{6\sqrt{2}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{3}}}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{3}}}V \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{3}}}8.{{V}_{1}}\Rightarrow {{x}^{3}}={{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{3}}\Rightarrow x=3\sqrt{2}$
Đáp án A.