Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi M là trung điểm của...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa AC và BM là
A.

\frac{2 \sqrt{11}}{11} c m

.
B.

\frac{3 \sqrt{22}}{11} c m

.
C.

\frac{3 \sqrt{2}}{11} c m

.
D.

\frac{\sqrt{2}}{11} c m

.

Gọi G là tâm tam giác đều BCD

\Rightarrow A G ⊥ (B C D)

.
Trong mặt phẳng

(B C D)

, dựng hình bình hành BMCN mà

B M ⊥ C M

nên BMCN là hình chữ nhật.
Ta có

B M // (A C N)

\Rightarrow d (B M, A C) = d (B M, (A C N)) = d (G, (A C N))

.
Kẻ

G K ⊥ N C (K \in N C)

và

G H ⊥ A K (H \in A K)

\Rightarrow d (G, (A C N)) = G H

.
Ta có

A G = \sqrt{A B^{2} - B G^{2}} = \sqrt{9 - {(\frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{6} c m, G K = C M = \frac{3}{2} c m

.
Vậy

G H = \frac{A G . G K}{\sqrt{A G^{2} + G K^{2}}} = \frac{\sqrt{6} . \frac{3}{2}}{\sqrt{6 + \frac{9}{4}}} = \frac{3 \sqrt{22}}{11} c m

.

Đáp án B.