Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa AC và BM là
A. $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}cm$.
B. $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}cm$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{11}cm$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{11}cm$.
Gọi G là tâm tam giác đều BCD $\Rightarrow AG\bot \left( BCD \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( BCD \right)$, dựng hình bình hành BMCN mà $BM\bot CM$ nên BMCN là hình chữ nhật.
Ta có $BM\text{//}\left( ACN \right)$
$\Rightarrow d\left( BM,AC \right)=d\left( BM,\left( ACN \right) \right)=d\left( G,\left( ACN \right) \right)$.
Kẻ $GK\bot NC \left( K\in NC \right)$ và $GH\bot AK \left( H\in AK \right)$
$\Rightarrow d\left( G,\left( ACN \right) \right)=GH$.
Ta có $AG=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{G}^{2}}}=\sqrt{9-{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{6} cm ,GK=CM=\dfrac{3}{2} cm$.
Vậy $GH=\dfrac{AG.GK}{\sqrt{A{{G}^{2}}+G{{K}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}.\dfrac{3}{2}}{\sqrt{6+\dfrac{9}{4}}}=\dfrac{3\sqrt{22}}{11} cm$.
A. $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}cm$.
B. $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}cm$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{11}cm$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{11}cm$.
Gọi G là tâm tam giác đều BCD $\Rightarrow AG\bot \left( BCD \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( BCD \right)$, dựng hình bình hành BMCN mà $BM\bot CM$ nên BMCN là hình chữ nhật.
Ta có $BM\text{//}\left( ACN \right)$
$\Rightarrow d\left( BM,AC \right)=d\left( BM,\left( ACN \right) \right)=d\left( G,\left( ACN \right) \right)$.
Kẻ $GK\bot NC \left( K\in NC \right)$ và $GH\bot AK \left( H\in AK \right)$
$\Rightarrow d\left( G,\left( ACN \right) \right)=GH$.
Ta có $AG=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{G}^{2}}}=\sqrt{9-{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{6} cm ,GK=CM=\dfrac{3}{2} cm$.
Vậy $GH=\dfrac{AG.GK}{\sqrt{A{{G}^{2}}+G{{K}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}.\dfrac{3}{2}}{\sqrt{6+\dfrac{9}{4}}}=\dfrac{3\sqrt{22}}{11} cm$.
Đáp án B.