Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ${ABCD}$ có cạnh bằng ${12.}$ Gọi ${M,N,P}$ lần lượt thỏa mãn ${\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0},}$ ${\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}.}$ Mặt phẳng ${\left( MNP \right)}$ chia tứ diện thành hai phần. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh ${A.}$
A. ${88\sqrt{2}.}$
B. ${56\sqrt{2}.}$
C. ${72\sqrt{2}.}$
D. ${144\sqrt{2}.}$
NP cắt BD kéo dài tại E, ME cắt AD tại Q.
sử dụng định lý Medelaus đối với tam giác BDC với điểm E ngoài đoạn BD ta có
$\dfrac{PD}{PC}\text{.}\dfrac{NB}{NC}\text{.}\dfrac{EB}{ED}=1\Rightarrow \dfrac{1}{2}.1.\dfrac{EB}{ED}=1\Rightarrow \dfrac{EB}{ED}=2$
Tiếp tục sử dụng Melelaus đối với tam giác ABD với điểm E ngoài đoạn BD ta có
$\dfrac{MA}{MB}\text{.}\dfrac{QD}{QA}\text{.}\dfrac{EB}{ED}=1\Rightarrow 1.\dfrac{QD}{QA}.2=1\Rightarrow \dfrac{Q\text{D}}{QA}=\dfrac{1}{2}$
Tách khối đa diện MQDPNB thành hai khối MBNPD và M. QDP.
Chú ý tỉ số diện tích hai tam giác chung góc
$\dfrac{{{S}_{NCP}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{0,5.CN.CP\sin \widehat{BC\text{D}}}{0,5.CB.CD\sin \widehat{BC\text{D}}}=\dfrac{CN}{CB}\text{.}\dfrac{CP}{C\text{D}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{BNPD}}=\dfrac{2}{3}{{S}_{ABC}}$
Như vậy ${{V}_{M.BNPD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2{{\text{S}}_{BCD}}}{3}.\dfrac{h}{2}=\dfrac{V}{3}$ đo chiều cao từ M bằng nửa chiều cao từ A.
Chú ý ${{V}_{M.ACD}}=\dfrac{V}{2}$ do M là trung điểm của AB. Lại có
$\dfrac{{{S}_{QPD}}}{{{S}_{A\text{D}C}}}=\dfrac{DQ}{DA}\text{.}\dfrac{DP}{DC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{M.QDP}}}{{{V}_{M.A\text{D}C}}}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow {{V}_{M.QDP}}=\dfrac{V}{18}$
Kết hợp lại ta có ${{V}_{MQDPNB}}=\dfrac{V}{3}+\dfrac{V}{18}=\dfrac{7}{18}$
Chú ý $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=144\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{MQDPNB}}=\dfrac{7}{18}.144\sqrt{2}=56\sqrt{2}$
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là $144\sqrt{2}56\sqrt{2}=88\sqrt{2}.$
A. ${88\sqrt{2}.}$
B. ${56\sqrt{2}.}$
C. ${72\sqrt{2}.}$
D. ${144\sqrt{2}.}$
NP cắt BD kéo dài tại E, ME cắt AD tại Q.
sử dụng định lý Medelaus đối với tam giác BDC với điểm E ngoài đoạn BD ta có
$\dfrac{PD}{PC}\text{.}\dfrac{NB}{NC}\text{.}\dfrac{EB}{ED}=1\Rightarrow \dfrac{1}{2}.1.\dfrac{EB}{ED}=1\Rightarrow \dfrac{EB}{ED}=2$
Tiếp tục sử dụng Melelaus đối với tam giác ABD với điểm E ngoài đoạn BD ta có
$\dfrac{MA}{MB}\text{.}\dfrac{QD}{QA}\text{.}\dfrac{EB}{ED}=1\Rightarrow 1.\dfrac{QD}{QA}.2=1\Rightarrow \dfrac{Q\text{D}}{QA}=\dfrac{1}{2}$
Tách khối đa diện MQDPNB thành hai khối MBNPD và M. QDP.
Chú ý tỉ số diện tích hai tam giác chung góc
$\dfrac{{{S}_{NCP}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{0,5.CN.CP\sin \widehat{BC\text{D}}}{0,5.CB.CD\sin \widehat{BC\text{D}}}=\dfrac{CN}{CB}\text{.}\dfrac{CP}{C\text{D}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{BNPD}}=\dfrac{2}{3}{{S}_{ABC}}$
Như vậy ${{V}_{M.BNPD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2{{\text{S}}_{BCD}}}{3}.\dfrac{h}{2}=\dfrac{V}{3}$ đo chiều cao từ M bằng nửa chiều cao từ A.
Chú ý ${{V}_{M.ACD}}=\dfrac{V}{2}$ do M là trung điểm của AB. Lại có
$\dfrac{{{S}_{QPD}}}{{{S}_{A\text{D}C}}}=\dfrac{DQ}{DA}\text{.}\dfrac{DP}{DC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{M.QDP}}}{{{V}_{M.A\text{D}C}}}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow {{V}_{M.QDP}}=\dfrac{V}{18}$
Kết hợp lại ta có ${{V}_{MQDPNB}}=\dfrac{V}{3}+\dfrac{V}{18}=\dfrac{7}{18}$
Chú ý $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=144\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{MQDPNB}}=\dfrac{7}{18}.144\sqrt{2}=56\sqrt{2}$
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là $144\sqrt{2}56\sqrt{2}=88\sqrt{2}.$
Đáp án A.