Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $DM$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Gọi $N$ là trung điểm của $AC$, khi đó góc giữa đường thẳng $AB$ và đường thẳng $DM$ bằng góc giữa đường thẳng $MN$ và đường thẳng $DM$.
Ta có $ND=MD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},MN=\dfrac{a}{2}$
Áp dụng định lí Cô sin trong tam giác $MND$ ta có: $N{{D}^{2}}=M{{N}^{2}}+M{{D}^{2}}-2MN.MD.\cos \widehat{NMD}$. Suy ra ${{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-2.\left( \dfrac{a}{2} \right).\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right).\cos \widehat{NMD}$ $\Rightarrow \cos \widehat{NMD}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Vậy $\cos \widehat{\left( AB , DM \right)}=\cos \widehat{\left( MN , DM \right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
Ta có $ND=MD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},MN=\dfrac{a}{2}$
Áp dụng định lí Cô sin trong tam giác $MND$ ta có: $N{{D}^{2}}=M{{N}^{2}}+M{{D}^{2}}-2MN.MD.\cos \widehat{NMD}$. Suy ra ${{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-2.\left( \dfrac{a}{2} \right).\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right).\cos \widehat{NMD}$ $\Rightarrow \cos \widehat{NMD}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Vậy $\cos \widehat{\left( AB , DM \right)}=\cos \widehat{\left( MN , DM \right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
Đáp án B.