Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $CI$.
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
Gọi $E$ là trung điểm của $BD$.
$\Rightarrow IE\text{//}AD\Rightarrow \left( \widehat{AD,CI} \right)=\left( \widehat{IE,CI} \right)=\widehat{CIE}$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $a$ $\Rightarrow CI=CE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$IE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}$ ( $IE$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ )
$\Delta CIE$ có: $\cos \widehat{CIE}=\dfrac{C{{I}^{2}}+I{{E}^{2}}-C{{E}^{2}}}{2CI.IE}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Vậy $\cos \left( \widehat{AD,CI} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
$\Rightarrow IE\text{//}AD\Rightarrow \left( \widehat{AD,CI} \right)=\left( \widehat{IE,CI} \right)=\widehat{CIE}$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $a$ $\Rightarrow CI=CE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$IE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}$ ( $IE$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ )
$\Delta CIE$ có: $\cos \widehat{CIE}=\dfrac{C{{I}^{2}}+I{{E}^{2}}-C{{E}^{2}}}{2CI.IE}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Vậy $\cos \left( \widehat{AD,CI} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Đáp án D.