Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $3a$. Thể tích khối nón đỉnh $A$ và...

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$.
Vì tam giác $BCD$ đều cạnh $3a$ nên $BM={\displaystyle \frac{3a\sqrt{3}}{2}}$.
$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, suy ra $BG={\displaystyle \frac{2}{3}}.BM=a\sqrt{3},GM={\displaystyle \frac{1}{3}}BM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.
Xét tam giác $AGB$ có: $AG=\sqrt{A{B}^2-B{G}^2}=\sqrt{{\left(3a\right)}^2-{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=a\sqrt{6}$.
Khối nón đỉnh $A$ và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$ có chiều cao $h=AG=a\sqrt{6}$ và bán kính đáy $r=GM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.
Vậy thể tích khối nón là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}.h.\pi r^2={\displaystyle \frac{1}{3}}.a\sqrt{6}.\pi {\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}\pi a^3$.