Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $3a$. Thể tích khối nón đỉnh $A$ và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
B. $\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
C. $3\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{108}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$.
Vì tam giác $BCD$ đều cạnh $3a$ nên $BM=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$.
$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, suy ra $BG=\dfrac{2}{3}.BM=a\sqrt{3}, GM=\dfrac{1}{3}BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét tam giác $AGB$ có: $AG=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{G}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Khối nón đỉnh $A$ và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$ có chiều cao $h=AG=a\sqrt{6}$ và bán kính đáy $r=GM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy thể tích khối nón là: $V=\dfrac{1}{3}.h.\pi {{r}^{2}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{6}.\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
B. $\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
C. $3\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{108}\pi {{a}^{3}}$.
Vì tam giác $BCD$ đều cạnh $3a$ nên $BM=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$.
$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, suy ra $BG=\dfrac{2}{3}.BM=a\sqrt{3}, GM=\dfrac{1}{3}BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét tam giác $AGB$ có: $AG=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{G}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Khối nón đỉnh $A$ và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$ có chiều cao $h=AG=a\sqrt{6}$ và bán kính đáy $r=GM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy thể tích khối nón là: $V=\dfrac{1}{3}.h.\pi {{r}^{2}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{6}.\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án A.