Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCDcó $BC=a,CD=a\sqrt{3},BCD=ABC=ADC={{90}^{0}}$ .Số đo góc giữa hai đường thẳng BCvà ADbằng ${{60}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDbằng:
A. $a\sqrt{3}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $a.$
D. $\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.$
A. $a\sqrt{3}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $a.$
D. $\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.$
Phương pháp:
Tam giác ABC vuông tại A suy ra A, B, C nằm trên mặt cầu đường kính BC.
Cách giải:
Gọi I, O, M lần lượt là trung điểm của $AC,BD,CD.~$
Do $ABC=ADC={{90}^{0}}$ nên A, B, C, D nằm trên mặt cầu (S)tâm I, đường kính AC.
Lại có, tam giác BCD vuông tại C ⇒ O là tâm đường tròn (C)ngoại tiếp tam giác BCD (trên mặt phẳng (BCD)
$\Rightarrow OI\bot \left( BCD \right)$
Ta có: $OM//BC,IM//CD,$ góc giữa hai đường thẳng BCvà ADbằng ${{60}^{0}}$ ⇒ $\left( IM;OM \right)={{60}^{0}}$
⇒ ∆ OIMvuông tại O và $IMO={{60}^{0}}.$
Ta có: $BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(a\sqrt{3})}^{2}}}=2a\Rightarrow r=a$ (bán kính đường tròn (C)
Khoảng cách từ tâm I đến (BCD): $d=OI=OM.\tan DMO=\dfrac{1}{2}a.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}\Leftrightarrow R=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$ (Rlà bán kính mặt cầu (S)).
Tam giác ABC vuông tại A suy ra A, B, C nằm trên mặt cầu đường kính BC.
Cách giải:
Gọi I, O, M lần lượt là trung điểm của $AC,BD,CD.~$
Do $ABC=ADC={{90}^{0}}$ nên A, B, C, D nằm trên mặt cầu (S)tâm I, đường kính AC.
Lại có, tam giác BCD vuông tại C ⇒ O là tâm đường tròn (C)ngoại tiếp tam giác BCD (trên mặt phẳng (BCD)
$\Rightarrow OI\bot \left( BCD \right)$
Ta có: $OM//BC,IM//CD,$ góc giữa hai đường thẳng BCvà ADbằng ${{60}^{0}}$ ⇒ $\left( IM;OM \right)={{60}^{0}}$
⇒ ∆ OIMvuông tại O và $IMO={{60}^{0}}.$
Ta có: $BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(a\sqrt{3})}^{2}}}=2a\Rightarrow r=a$ (bán kính đường tròn (C)
Khoảng cách từ tâm I đến (BCD): $d=OI=OM.\tan DMO=\dfrac{1}{2}a.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}\Leftrightarrow R=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$ (Rlà bán kính mặt cầu (S)).
Đáp án D.