Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCDcó $AB\bot BC,BC\bot CD,CD\bot DA,BC=a,CD=a\sqrt{15},$ góc giữa ABvà CDbằng ${{30}^{0}}$. Thể tích khối tứ diện đó bằng.
A. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{2}$
B. $\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}~~~~~~~~~~$
C. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3~}}{6}$
A. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{2}$
B. $\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}~~~~~~~~~~$
C. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3~}}{6}$
Cách giải:
Dựng hình chữ nhật ABCE.
Ta có $AB||CE~\Rightarrow \angle \left( AB;CD \right)=\angle \left( CE;CD \right)=\angle ECD={{30}^{0}}.~$
Gọi O= AC⋂ BD⇒ Olà trung điểm của ACvà BE.
Tam giác ACDvuông tại D⇒ $DO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BE.~$
⇒∆ BDEvuông tại D(Định lí đường trung tuyến).
Đặt AB= CE= x.
Áp dụng định lí Pytato trong các tam giác vuông ta có:
$B{{E}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}.~$
$B{{D}^{2}}={{a}^{2}}+15{{a}^{2}}=16{{a}^{2}}.~$
Áp dụng định lí Co\sin trong tam giác CDEta có:
$D{{E}^{2}}=C{{D}^{2}}+C{{E}^{2}}-~2CD.CE.\cos 30{{~}^{0~}}$
$D{{E}^{2}}=15{{a}^{2}}+{{x}^{2~}}-~2.a\sqrt{15}.x.\dfrac{\sqrt{3}}{2}~$
$D{{E}^{2}}=15{{a}^{2}}+{{x}^{2}}~-~3\sqrt{5}~ax$
Tam giác BDEvuông tại D( cmt) nên ta có: $B{{D}^{2}}+D{{E}^{2}}=B{{E}^{2}}$ (Định lí Pytago)
$\Rightarrow 16{{a}^{2}}+15{{a}^{2}}+{{x}^{2}}-3\sqrt{5}~ax={{a}^{2}}+~{{x}^{2}}~$
$\Leftrightarrow 30{{a}^{2}}-3\sqrt{5}ax~=~0$
$\Leftrightarrow 3a\left( 10a-5x~ \right)~=~0~$
$\Leftrightarrow \sqrt{5}x=10a$ $\Leftrightarrow x=~2\sqrt{5}~a~$
$\Rightarrow AB=CE=2\sqrt{5}a$
$\Rightarrow {{S}_{ABCE}}=AB.BC=2\sqrt{5}a.a=2\sqrt{5}{{a}^{2}}\Rightarrow S{{}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCE}}={{a}^{2}}\sqrt{5}.~$
Trong ( CDE) kẻ DH⊥ CEta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot CD \\
& BC\bot CE \\
\end{aligned} \right.~\Rightarrow BC\bot \left( CDE \right)\Rightarrow BC\bot DH.~$
$\left\{ \begin{aligned}
& DH\bot CE \\
& DH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DH\bot (ABCD).~$
Trong tam giác vuông CDHcó: $CH=CD.\sin {{30}^{0}}=a\dfrac{\sqrt{15}}{2}~.~$
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}DH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.{{a}^{2}}\sqrt{5}=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$
Dựng hình chữ nhật ABCE.
Ta có $AB||CE~\Rightarrow \angle \left( AB;CD \right)=\angle \left( CE;CD \right)=\angle ECD={{30}^{0}}.~$
Gọi O= AC⋂ BD⇒ Olà trung điểm của ACvà BE.
Tam giác ACDvuông tại D⇒ $DO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BE.~$
⇒∆ BDEvuông tại D(Định lí đường trung tuyến).
Đặt AB= CE= x.
Áp dụng định lí Pytato trong các tam giác vuông ta có:
$B{{E}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}.~$
$B{{D}^{2}}={{a}^{2}}+15{{a}^{2}}=16{{a}^{2}}.~$
Áp dụng định lí Co\sin trong tam giác CDEta có:
$D{{E}^{2}}=C{{D}^{2}}+C{{E}^{2}}-~2CD.CE.\cos 30{{~}^{0~}}$
$D{{E}^{2}}=15{{a}^{2}}+{{x}^{2~}}-~2.a\sqrt{15}.x.\dfrac{\sqrt{3}}{2}~$
$D{{E}^{2}}=15{{a}^{2}}+{{x}^{2}}~-~3\sqrt{5}~ax$
Tam giác BDEvuông tại D( cmt) nên ta có: $B{{D}^{2}}+D{{E}^{2}}=B{{E}^{2}}$ (Định lí Pytago)
$\Rightarrow 16{{a}^{2}}+15{{a}^{2}}+{{x}^{2}}-3\sqrt{5}~ax={{a}^{2}}+~{{x}^{2}}~$
$\Leftrightarrow 30{{a}^{2}}-3\sqrt{5}ax~=~0$
$\Leftrightarrow 3a\left( 10a-5x~ \right)~=~0~$
$\Leftrightarrow \sqrt{5}x=10a$ $\Leftrightarrow x=~2\sqrt{5}~a~$
$\Rightarrow AB=CE=2\sqrt{5}a$
$\Rightarrow {{S}_{ABCE}}=AB.BC=2\sqrt{5}a.a=2\sqrt{5}{{a}^{2}}\Rightarrow S{{}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCE}}={{a}^{2}}\sqrt{5}.~$
Trong ( CDE) kẻ DH⊥ CEta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot CD \\
& BC\bot CE \\
\end{aligned} \right.~\Rightarrow BC\bot \left( CDE \right)\Rightarrow BC\bot DH.~$
$\left\{ \begin{aligned}
& DH\bot CE \\
& DH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DH\bot (ABCD).~$
Trong tam giác vuông CDHcó: $CH=CD.\sin {{30}^{0}}=a\dfrac{\sqrt{15}}{2}~.~$
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}DH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.{{a}^{2}}\sqrt{5}=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$
Đáp án D.