Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC,AD$ và $O$ là trọng tâm tam giác $BCD.$ Tính tỉ số thể tích $\dfrac{{{V}_{OMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}.$
A. $\dfrac{1}{6}$
B. $\dfrac{1}{8}$
C. $\dfrac{1}{12}$
D. $\dfrac{1}{4}$
A. $\dfrac{1}{6}$
B. $\dfrac{1}{8}$
C. $\dfrac{1}{12}$
D. $\dfrac{1}{4}$
Phương pháp:
So sánh chiều cao và diện tích đáy của hai khối chóp.
Cách giải:
Vì $\Delta MNP\backsim \Delta BCD$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{BCD}}}={{k}^{2}}=\dfrac{1}{4}.$
Ta có $\left( MNP \right)//\left( BCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( MNP \right) \right)=d\left( B;\left( MNP \right) \right).$
Lại có $BA\cap \left( MNP \right)=\left\{ M \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( B;\left( MNP \right) \right)}{d\left( A;\left( MNP \right) \right)}=\dfrac{BM}{AM}=1\Rightarrow d\left( B;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( MNP \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( BCD \right) \right)$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{OMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{d\left( O;\left( MNP \right) \right)}{d\left( A;\left( BCD \right) \right)}.\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}.$
So sánh chiều cao và diện tích đáy của hai khối chóp.
Cách giải:
Vì $\Delta MNP\backsim \Delta BCD$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{BCD}}}={{k}^{2}}=\dfrac{1}{4}.$
Ta có $\left( MNP \right)//\left( BCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( MNP \right) \right)=d\left( B;\left( MNP \right) \right).$
Lại có $BA\cap \left( MNP \right)=\left\{ M \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( B;\left( MNP \right) \right)}{d\left( A;\left( MNP \right) \right)}=\dfrac{BM}{AM}=1\Rightarrow d\left( B;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( MNP \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( BCD \right) \right)$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{OMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{d\left( O;\left( MNP \right) \right)}{d\left( A;\left( BCD \right) \right)}.\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}.$
Đáp án B.