Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD,$ gọi $M$ là điểm sao cho $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M,$ song song với $BC$ và $AD$ chia khối tứ diện đã cho thành hai khối đa diện. Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích của khối tứ diện chứa đỉnh $B$ và ${{V}_{2}}$ là thể tích khối tứ diện chứa đỉnh A. Tính tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$.
A. $\dfrac{5}{27}$
B. $\dfrac{5}{37}$
C. $\dfrac{5}{32}$
D. $\dfrac{1}{3}$
A. $\dfrac{5}{27}$
B. $\dfrac{5}{37}$
C. $\dfrac{5}{32}$
D. $\dfrac{1}{3}$
Cách giải:
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $MN//BC\left( N\in AC \right),$ trong $\left( ABD \right)$ kẻ $MQ//AD\left( Q\in BD \right),$ trong $\left( ACD \right)$ kẻ $NP//AD\left( P\in CD \right).$
$\Rightarrow $ Thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( P \right)$ là hình bình hành $MNPQ.$
Vì $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ nên $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{DP}{DC}=\dfrac{DQ}{DB}=\dfrac{3}{4}.$
Ta có: $CP=\dfrac{1}{4}CD\Rightarrow {{V}_{ABPC}}=\dfrac{1}{4}V\Rightarrow {{V}_{ABDP}}=\dfrac{3}{4}V.$
Khi đó ta có: $\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{ABCP}}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AN}{AC}.\dfrac{AP}{AP}=\dfrac{9}{16}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{AMNP}}=\dfrac{6}{64}V \\
& {{V}_{BMNCP}}=\dfrac{7}{64}V \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
$\dfrac{{{V}_{BMQP}}}{{{V}_{BADP}}}=\dfrac{BM}{BA}.\dfrac{BQ}{BD}.\dfrac{BP}{BP}=\dfrac{1}{16}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{MBQP}}=\dfrac{3}{64}V \\
& {{V}_{AMQDP}}=\dfrac{15}{16}{{V}_{ABDP}}=\dfrac{45}{64}V \\
\end{aligned} \right.\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{1}}=\dfrac{5}{32}V \\
& {{V}_{2}}=\dfrac{27}{32}V \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{5}{27}.$
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $MN//BC\left( N\in AC \right),$ trong $\left( ABD \right)$ kẻ $MQ//AD\left( Q\in BD \right),$ trong $\left( ACD \right)$ kẻ $NP//AD\left( P\in CD \right).$
$\Rightarrow $ Thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( P \right)$ là hình bình hành $MNPQ.$
Vì $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ nên $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{DP}{DC}=\dfrac{DQ}{DB}=\dfrac{3}{4}.$
Ta có: $CP=\dfrac{1}{4}CD\Rightarrow {{V}_{ABPC}}=\dfrac{1}{4}V\Rightarrow {{V}_{ABDP}}=\dfrac{3}{4}V.$
Khi đó ta có: $\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{ABCP}}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AN}{AC}.\dfrac{AP}{AP}=\dfrac{9}{16}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{AMNP}}=\dfrac{6}{64}V \\
& {{V}_{BMNCP}}=\dfrac{7}{64}V \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
$\dfrac{{{V}_{BMQP}}}{{{V}_{BADP}}}=\dfrac{BM}{BA}.\dfrac{BQ}{BD}.\dfrac{BP}{BP}=\dfrac{1}{16}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{MBQP}}=\dfrac{3}{64}V \\
& {{V}_{AMQDP}}=\dfrac{15}{16}{{V}_{ABDP}}=\dfrac{45}{64}V \\
\end{aligned} \right.\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{1}}=\dfrac{5}{32}V \\
& {{V}_{2}}=\dfrac{27}{32}V \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{5}{27}.$
Đáp án A.