Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{DAB}=\widehat{CBD}={{90}^{0}},AB=2a,AC=2\sqrt{5}a$ và $\widehat{ABC}={{135}^{0}}.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABD \right)$ và $\left( BCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}.$ Thể tích của khối tứ diện $ABCD$ bằng
A. $\dfrac{4\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.$
B. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
A. $\dfrac{4\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.$
B. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot DH \\
& AB\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot AH$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& CB\bot DH \\
& CB\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot BH$
Tam giác $ABH$ vuông tại $A,AB=2a,\widehat{ABH}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta ABH$ vuông cân tại $A\Rightarrow AH=AB=2a;BH=2a\sqrt{2}.$
Áp dụng định lí cosin, $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$
$B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}-A{{C}^{2}}=0\Leftrightarrow B{{C}^{2}}+2a\sqrt{2}BC-16{{a}^{2}}=0\Rightarrow BC=2\sqrt{2}a$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.BC.\sin {{135}^{0}}=\dfrac{1}{2}.2a.2\sqrt{2}a.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2{{a}^{2}}$
Dựng $\left\{ \begin{aligned}
& HE\bot DA \\
& HF\bot DB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HE\bot \left( DAB \right);HF\bot \left( DCB \right)$
Suy ra $\left( \widehat{\left( DAB \right);\left( DCB \right)} \right)=\widehat{\left( HE,HF \right)}=\widehat{EHF}.$ Tam giác $EHF$ vuông tại $F$.
Đặt $DH=x,$ khi đó $EH=\dfrac{DH.AH}{\sqrt{D{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}}=\dfrac{2ax}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}},FH=\dfrac{2a\sqrt{2}x}{\sqrt{8{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$
$\cos \widehat{EHF}=\dfrac{EH}{EF}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{8{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}\Rightarrow 6\left( 4{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=4\left( 8{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\Rightarrow x=2a.$
Vậy thể tích của khối tứ diện $ABCD:{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.DH=\dfrac{1}{3}.2{{a}^{2}}.2a=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot DH \\
& AB\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot AH$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& CB\bot DH \\
& CB\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot BH$
Tam giác $ABH$ vuông tại $A,AB=2a,\widehat{ABH}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta ABH$ vuông cân tại $A\Rightarrow AH=AB=2a;BH=2a\sqrt{2}.$
Áp dụng định lí cosin, $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$
$B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}-A{{C}^{2}}=0\Leftrightarrow B{{C}^{2}}+2a\sqrt{2}BC-16{{a}^{2}}=0\Rightarrow BC=2\sqrt{2}a$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.BC.\sin {{135}^{0}}=\dfrac{1}{2}.2a.2\sqrt{2}a.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2{{a}^{2}}$
Dựng $\left\{ \begin{aligned}
& HE\bot DA \\
& HF\bot DB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HE\bot \left( DAB \right);HF\bot \left( DCB \right)$
Suy ra $\left( \widehat{\left( DAB \right);\left( DCB \right)} \right)=\widehat{\left( HE,HF \right)}=\widehat{EHF}.$ Tam giác $EHF$ vuông tại $F$.
Đặt $DH=x,$ khi đó $EH=\dfrac{DH.AH}{\sqrt{D{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}}=\dfrac{2ax}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}},FH=\dfrac{2a\sqrt{2}x}{\sqrt{8{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$
$\cos \widehat{EHF}=\dfrac{EH}{EF}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{8{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}\Rightarrow 6\left( 4{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=4\left( 8{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\Rightarrow x=2a.$
Vậy thể tích của khối tứ diện $ABCD:{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.DH=\dfrac{1}{3}.2{{a}^{2}}.2a=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án C.