Cho tứ diện $A B C D$ có $\hat{D A B} = \hat{C B D} = 90^{0}, A B = 2 a, A C = 2 \sqrt{5} a$ và $\hat{A B C} = 135^{0} .$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left(...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho tứ diện

A B C D

có

\hat{D A B} = \hat{C B D} = 90^{0}, A B = 2 a, A C = 2 \sqrt{5} a

và

\hat{A B C} = 135^{0} .

Góc giữa hai mặt phẳng

(A B D)

và

(B C D)

bằng

30^{0} .

Thể tích của khối tứ diện

A B C D

bằng
A.

\frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3} .

B.

4 \sqrt{2} a^{3} .

C.

\frac{4 a^{3}}{3} .

D.

\frac{4 \sqrt{3} a^{3}}{3} .

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

D

trên mặt phẳng

(A B C)

Ta có:

{\begin{aligned} A B ⊥ D H \\ A B ⊥ A D \end{aligned} \Rightarrow A B ⊥ A H

Mặt khác:

{\begin{aligned} C B ⊥ D H \\ C B ⊥ B D \end{aligned} \Rightarrow C B ⊥ B H

Tam giác

A B H

vuông tại

A, A B = 2 a, \hat{A B H} = 45^{0} \Rightarrow Δ A B H

vuông cân tại

A \Rightarrow A H = A B = 2 a; B H = 2 a \sqrt{2} .

Áp dụng định lí cosin,

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos \hat{A B C}

B C^{2} + A B^{2} - 2. A B . B C . \cos \hat{A B C} - A C^{2} = 0 \Leftrightarrow B C^{2} + 2 a \sqrt{2} B C - 16 a^{2} = 0 \Rightarrow B C = 2 \sqrt{2} a

S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C . \sin 135^{0} = \frac{1}{2} .2 a .2 \sqrt{2} a . \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 a^{2}

Dựng

{\begin{aligned} H E ⊥ D A \\ H F ⊥ D B \end{aligned} \Rightarrow H E ⊥ (D A B); H F ⊥ (D C B)

Suy ra

(\hat{(D A B); (D C B)}) = \hat{(H E, H F)} = \hat{E H F} .

Tam giác

E H F

vuông tại

F

.
Đặt

D H = x,

khi đó

E H = \frac{D H . A H}{\sqrt{D H^{2} + A H^{2}}} = \frac{2 a x}{\sqrt{4 a^{2} + x^{2}}}, F H = \frac{2 a \sqrt{2} x}{\sqrt{8 a^{2} + x^{2}}}

\cos \hat{E H F} = \frac{E H}{E F} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{8 a^{2} + x^{2}}}{\sqrt{2} \sqrt{4 a^{2} + x^{2}}} \Rightarrow 6 (4 a^{2} + x^{2}) = 4 (8 a^{2} + x^{2}) \Rightarrow x = 2 a .

Vậy thể tích của khối tứ diện

A B C D : V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . D H = \frac{1}{3} .2 a^{2} .2 a = \frac{4 a^{3}}{3} .

Đáp án C.

Cho tứ diện ABCD có DAB^=CBD^=900,AB=2a,AC=25a và ABC^=1350. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(...